Achei uma solução parecida que dá para ser usada:
Divisibility by Powers of 2.
Não consegui digerir a parte em negrito, alguém consegue explicar?
A ideia é começar testando mesmo, você pegou: [tex3]x_1=52, x_2=552,x_3=5552,etc...[/tex3]
Generalizando, dá para tomar o número [tex3]x_{n}[/tex3]
tendo n dígitos (2's e 5's) e sendo divisível por [tex3]2^{n}[/tex3]
Se [tex3]x_{n}[/tex3]
for divisível por [tex3]2^{n+1}[/tex3]
, simplesmente fazemos [tex3]x_{n+1} = 2\cdot 10^{n}+ x_{n} = 2^{n+1}\cdot 5^n+x_n[/tex3]
. Ou seja, temos [tex3]x_{n+1} [/tex3]
com n+1 dígitos (Já que somamos [tex3]2\cdot 10^{n}[/tex3]
) e divisível por [tex3]2^{n+1}[/tex3]
.
Se [tex3]x_{n}[/tex3] não for divisível por [tex3]2^{n+1}[/tex3], o resultado da divisão vai ser algo decimal do tipo [tex3]\overline{abcd...}, 5 [/tex3].
Do mesmo jeito, temos que [tex3]5\cdot 10^{n}[/tex3]
dividido por [tex3]2^{n+1}[/tex3]
vai dar um resultado decimal [tex3]\overline{efgh...}, 5 [/tex3]
.
Ora, então fazemos: [tex3]x_{n+1} = 5\cdot 10^n+x_{n}[/tex3]
.
Esse número tem n+1 dígitos, já que somamos [tex3]5\cdot 10^{n}[/tex3]
.
Esse número é divisível por [tex3]2^{k+1}[/tex3]
, já que os dois resultados decimais 0,5 foram somados.
Então por indução, a sequência [tex3]\{x_1,x_2,x_3,...x_n\} [/tex3]
é infinita. Ou seja, existe pelo menos um [tex3]x_{2005} [/tex3]
.
E ele é único, já que o [tex3]x_n [/tex3]
sempre depende do [tex3]x_{n-1} [/tex3]
, como vimos na indução.
Sendo assim, a resposta é Letra B)
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]