Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Hanon** » Qua 06 Mar, 2019 22:27 · Mensagem não lida por **Hanon** » Qua 06 Mar, 2019 22:27

A função [tex3]f(k)[/tex3] é definida para inteiros positivos por:
[tex3]f(1)=1, f(2)=1,f(3)=-1[/tex3] .
E pela identidade [tex3]f(2k)=f(k), \ f(2k+1)=f(k)[/tex3] .
Para [tex3]k\geq2[/tex3] a soma
[tex3]f(1)+f(2)+f(3)+...+f(100)[/tex3] é igual:
a) -15. b) 28. c) 64. d) 81.

Mensagem não lidapor **Planck** » Qua 06 Mar, 2019 23:57 · Mensagem não lida por **Planck** » Qua 06 Mar, 2019 23:57

Olá Hanon,

Uma solução que encontrei foi fazendo [tex3]f(k)[/tex3] até o [tex3]f(15)[/tex3] e encontrei um padrão:

[tex3]f(1)=1[/tex3]
[tex3]f(2)=1[/tex3]
[tex3]f(3)=-1[/tex3]
[tex3]f(4)=1[/tex3]
[tex3]f(5)=1[/tex3]
[tex3]f(6)=-1[/tex3]
[tex3]f(7)=-1[/tex3]
[tex3]f(8)=1[/tex3]
[tex3]f(9)=1[/tex3]
[tex3]f(10)=1[/tex3]
[tex3]f(11)=1[/tex3]
[tex3]f(12)=-1[/tex3]
[tex3]f(13)=-1[/tex3]
[tex3]f(14)=-1[/tex3]
[tex3]f(15)=-1[/tex3]

Nesse ponto, escrevi os resultados em linha:

[tex3]1+1-1+1+1-1-1+1+1+1+1-1-1-1-1[/tex3]

O que notei foram os grupos com [tex3]1[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] , eles crescem multiplicados por um fator de [tex3]2[/tex3] , observe:

[tex3]1{\color{red}+1}{\color{cyan}-1}{\color{red}+1+1{\color{cyan}-1-1{\color{red}+1+1+1+1{\color{cyan}-1-1-1-1}}}}[/tex3]

Desse modo, procurei quantos grupos completos de cada [tex3]+1[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] havia, partindo do [tex3]f(15)[/tex3] , pois o [tex3]f(16)=1[/tex3] e as 7 imagens seguintes devem ser [tex3]+1[/tex3] e as próximas 8 imagens devem ser [tex3]-1[/tex3] . Assim chegaríamos ao [tex3]f(32)=1[/tex3] , e as próximas 15 imagens devem ser [tex3]+1[/tex3] e as 16 seguintes devem ser [tex3]-1[/tex3] . Nessa lógica chegaríamos ao [tex3]f(64)=1[/tex3] , que deve ter a imagem como [tex3]+1[/tex3] e as próximas 31 imagens devem ser [tex3]+1[/tex3] . Isso nos leva ao [tex3]f(95)=f(47)=f(23)=f(11)=1[/tex3] e as próximas 5 imagens são [tex3]-1[/tex3] :

[tex3]f(96)=f(48)=f(24)=f(12)=-1[/tex3]
[tex3]f(97)=f(48)=f(24)=f(12)=-1[/tex3]
[tex3]f(98)=f(49)=f(24)=f(12)=-1[/tex3]
[tex3]f(99)=f(49)=f(24)=f(12)=-1[/tex3]
[tex3]f(100)=f(500)=f(25)=f(12)=-1[/tex3]

Portanto, temos 33 termos iguais a [tex3]+1[/tex3] (precisamos lembrar que [tex3]f(1)=1[/tex3] não cancela com nenhum termo) e outros 5 termos iguais a [tex3]-1[/tex3] , logo:

[tex3]33-5=28[/tex3]

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