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Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 05 Mar, 2019 17:36 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 05 Mar, 2019 17:36

Em um triângulo ABC, retângulo em C, tem uma circunferência inscrita de raio R e centro O. Sabendo-se que está circunferência tangência o triângulo nos pontos M,N e P formando assim dois quadrilátero ANOP e BMOP cujas circunferências inscritas são [tex3]r_1[/tex3] e [tex3]r_2[/tex3]

Prove que [tex3]R^2=2*r_1*r_2[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » Qui 07 Mar, 2019 10:17 · Mensagem não lida por **jvmago** » Qui 07 Mar, 2019 10:17

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Mensagem não lidapor **jvmago** » Qui 07 Mar, 2019 10:26 · Mensagem não lida por **jvmago** » Qui 07 Mar, 2019 10:26

PARTIU RESOLVER ESSAS "LINDEZAS"!!

traçando as retas [tex3]O_2L[/tex3] e [tex3]O_1K[/tex3] perpendiculares a [tex3]NO[/tex3] e [tex3]MO[/tex3] , respectivamente, teremos que:
[tex3]LK=R-r_2[/tex3] , [tex3]O_2L=r_2[/tex3] , [tex3]OK=R-r_1[/tex3] e [tex3]O_1K=r_1[/tex3] .

Fazendo [tex3]CaO=\theta[/tex3] então [tex3]CbO=45-\theta[/tex3] . Note agora que [tex3]O_2L//AN[/tex3] assim como [tex3]O_1K//BM[/tex3] portanto podemos dizer que:

[tex3]R-r_1=r_1tg(\theta)[/tex3]
[tex3]R=r_1(1+tg(\theta))[/tex3] assim como [tex3]R=r_2(1+tg(45-\theta))[/tex3]

Multiplicando as duas equações teremos:

[tex3]R^2=r_1*r_2(1+tg(\theta)*tg(45-\theta)+tg(\theta)+tg(45-\theta))[/tex3] pela trigonometria, sabemos por identidade que [tex3]tg(\theta)*tg(45-\theta)+tg(\theta)+tg(45-\theta)=1[/tex3] logo:

[tex3]R^2=r_1*r_2(1+1)[/tex3]
[tex3]R^2=2r_1r_2[/tex3]

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