Olimpíadas ⇒ (OBM 2001) Velocidade Média

[Auto Excluído (ID:20100)]

Papa-Léguas participou de uma corrida (junto com o Ligeirinho e o Flash), que consistia em dar 100 voltas em um circuito. Como sempre, o Coiote queria pegar o Papa-Léguas e colocou um monte de alpiste no meio da pista. É claro que o Coiote não conseguiu pegar o Papa-Léguas, mas ele fez com que a velocidade média dele na primeira volta fosse de apenas 200 km/h. Sabendo disso, a velocidade média do Papa-Léguas na corrida:

A) Não ultrapassa 200 km/h.
B) Não ultrapassa 250 km/h, mas pode ultrapassar 200km/h.
C) Não ultrapassa 2000 km/h, mas pode ultrapassar os 250km/h.
D) Não ultrapassa 20000 km/h, mas pode ultrapassar os 2000 km/h.
E) Pode ultrapassar 20000 km/h.

Resposta

---

letra D

[csmarcelo]

Achei a resolução, mas confesso que não entendi o motivo de ser dessa forma. O que dá a entender é que a velocidade dele foi reduzida na primeira volta por causa do alpiste, mas, depois, não se sabe a velocidade média dele. Como, então, pode-se dizer que é [tex3]\frac{20000t}{t+t'}[/tex3]

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[tex3]\frac{20000t}{t+t'}[/tex3]

?

Seja [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

a extensão do circuito, [tex3]t>0[/tex3]

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[tex3]t>0[/tex3]

o tempo gasto pelo Papa-Léguas para dar a primeira volta e [tex3]t'>0[/tex3]

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[tex3]t'>0[/tex3]

o tempo gasto para dar as outras 99 voltas. Temos [tex3]\frac{S}{t}=200[/tex3]

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[tex3]\frac{S}{t}=200[/tex3]

e a velocidade média do Papa-Léguas na corrida é [tex3]\frac{100S}{t+t'}=\frac{20000t}{t+t'}<20000[/tex3]

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[tex3]\frac{100S}{t+t'}=\frac{20000t}{t+t'}<20000[/tex3]

. Por outro lado, como nada sabemos sobre o valor de [tex3]t'[/tex3]

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[tex3]t'[/tex3]

, se [tex3]t'<9t[/tex3]

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[tex3]t'<9t[/tex3]

teremos [tex3]\frac{100S}{t+t'}>2000[/tex3]

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[tex3]\frac{100S}{t+t'}>2000[/tex3]

. Assim a opção correta é D.

Fonte: OBM

[caju]

Olá a todos,

A velocidade média da primeira volta: [tex3]\frac{S}{t}=200\,\,\,\Rightarrow\,\,\,S=200t\hspace{15pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

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[tex3]\frac{S}{t}=200\,\,\,\Rightarrow\,\,\,S=200t\hspace{15pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

Velocidade média na corrida inteira: [tex3]V_M=\frac{100S}{t+t'}\hspace{15pt}\color{red}\text{(II)}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{100S}{t+t'}\hspace{15pt}\color{red}\text{(II)}[/tex3]

Substituindo (I) em (II):

[tex3]V_M=\frac{100\cdot 200t}{t+t'}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{100\cdot 200t}{t+t'}[/tex3]

[tex3]V_M=\frac{20000t}{t+t'}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,V_M=20000\cdot\frac{t}{t+t'}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{20000t}{t+t'}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,V_M=20000\cdot\frac{t}{t+t'}[/tex3]

Como a fração [tex3]\frac{t}{t+t'}[/tex3]

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[tex3]\frac{t}{t+t'}[/tex3]

certamente será positiva e menor do que 1, podemos garantir que [tex3]\boxed{V_M<20000\text{ km/h}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{V_M<20000\text{ km/h}}[/tex3]

. O que já bate com o gabarito.

Agora, a segunda parte da alternativa D, que diz que a velocidade pode ultrapassar os 2000 km/h, devemos descobrir se esta é uma hipótese plausível, e então poderemos marcar a resposta D.

Se o tempo gasto nas 99 últimas voltas for igual a 9 vezes o tempo gasto na primeira volta, ou seja, [tex3]t'=9t[/tex3]

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[tex3]t'=9t[/tex3]

, a velocidade média será:

[tex3]V_M=\frac{100S}{t+9t}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{100S}{t+9t}[/tex3]

[tex3]V_M=\frac{100S}{10t}\hspace{15pt}\color{red}\text{(III)}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{100S}{10t}\hspace{15pt}\color{red}\text{(III)}[/tex3]

Substituindo (I) em (III):

[tex3]V_M=\frac{100\cdot 200t}{10t}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{100\cdot 200t}{10t}[/tex3]

[tex3]V_M=\frac{20000\cancel{t}}{10\cancel{t}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{V_M=2000}[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{20000\cancel{t}}{10\cancel{t}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{V_M=2000}[/tex3]

Ou seja, a hipótese de ser maior do que 2000km/h é uma hipótese plausível! Por isso a letra D é verdadeira. A velocidade média "pode" ser maior que 2000km/h! Basta [tex3]t'=9t[/tex3]

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[tex3]t'=9t[/tex3]

(que, como sabemos, é algo plausível para o papa-léguas).

Grande abraço,
Prof. Caju