Olimpíadas ⇒ Geometria - problema 20

[jvmago]

Sabendo-se que duas circunferências são ortogonais e que possuem um circunferência de raio máximo, que vale 20, compreendido entre os arcos comuns, determine o perímetro do triangulo ortogonal

Resposta

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[tex3]40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]40[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]x = R - 40[/tex3]

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[tex3]x = R - 40[/tex3]

[tex3]y = r - 40[/tex3]

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[tex3]y = r - 40[/tex3]

[tex3]x+y+40 = \sqrt{R^2+r^2} \iff R + r -40 = \sqrt{R^2+r^2}[/tex3]

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[tex3]x+y+40 = \sqrt{R^2+r^2} \iff R + r -40 = \sqrt{R^2+r^2}[/tex3]

mas ai deu ruim, jv porque
[tex3]R+r - \sqrt{R^2+r^2} = 40[/tex3]

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[tex3]R+r - \sqrt{R^2+r^2} = 40[/tex3]

tem um sinal de menos ali!

[jvmago]

[tex3]x = R - 40[/tex3]

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[tex3]x = R - 40[/tex3]

[tex3]y = r - 40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = r - 40[/tex3]

[tex3]x+y+40 = \sqrt{R^2+r^2} \iff R + r -40 = \sqrt{R^2+r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+y+40 = \sqrt{R^2+r^2} \iff R + r -40 = \sqrt{R^2+r^2}[/tex3]

mas ai deu ruim, jv porque
[tex3]R+r - \sqrt{R^2+r^2} = 40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R+r - \sqrt{R^2+r^2} = 40[/tex3]

tem um sinal de menos ali!

Chame os catetos de a e b em seguida sai por potência de ponto. Vale notar que a máxima circunferência acontece quando os centros são colineares.

[tex3]b^2=(b-2x)(2a+b-2x)[/tex3]

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[tex3]b^2=(b-2x)(2a+b-2x)[/tex3]

Resolvendo essa equação chegamos em duas possíveis soluções

[tex3]x=\frac{a+b+-c}{2}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{a+b+-c}{2}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

ainda assim acho que tá impossível, porque de fato:
[tex3]R-40 + r-40 + 40 = \sqrt{R^2 + r^2} [/tex3]

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[tex3]R-40 + r-40 + 40 = \sqrt{R^2 + r^2} [/tex3]

o que implica
[tex3]R+r - \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

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[tex3]R+r - \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

se o gabarito estiver correto
[tex3]R+r + \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

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[tex3]R+r + \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

o que implicaria
[tex3]\sqrt{R²+r²} = 0 \iff r=R=0[/tex3]

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[tex3]\sqrt{R²+r²} = 0 \iff r=R=0[/tex3]

[jvmago]

ainda assim acho que tá impossível, porque de fato:
[tex3]R-40 + r-40 + 40 = \sqrt{R^2 + r^2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R-40 + r-40 + 40 = \sqrt{R^2 + r^2} [/tex3]

o que implica
[tex3]R+r - \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R+r - \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

se o gabarito estiver correto
[tex3]R+r + \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R+r + \sqrt{R²+r²} = 40[/tex3]

o que implicaria

O gabarito diz que é isso :/ dois problemas quebrados ;-;
[tex3]\sqrt{R²+r²} = 0 \iff r=R=0[/tex3]

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[tex3]\sqrt{R²+r²} = 0 \iff r=R=0[/tex3]

[jvmago]

Que viagem, o comentário de baixo não foi! Me tire uma dúvida, pq zeraria a hipotenusa?

[Auto Excluído (ID:12031)]

some as duas equações e você terá [tex3]R+r=40[/tex3]

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[tex3]R+r=40[/tex3]

e [tex3]\sqrt{R²+r²}=0[/tex3]

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[tex3]\sqrt{R²+r²}=0[/tex3]