Os números inteiros a,b,c,d,e,f satisfazem a igualdade:
a^(2) + b^(2) + c^(2) + ab + bc + ca = de + ef + fd
Prove que a expressão a^(2) + b^(2) + c^(2) + d^(2) + e^(2) + f^(2) é um número compostos.
Olimpíadas ⇒ Rioplatense 2011 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2019
09
21:19
Re: Rioplatense 2011
[tex3]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 = [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2+(d+e+f)^2 - 2\cdot (de+df+ef) = [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2+(d+e+f)^2 - 2\cdot (a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc) = [/tex3]
[tex3](d+e+f)^2 - (a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) = [/tex3]
[tex3](d+e+f)^2 - (a+b+c)^2 = [/tex3]
[tex3](d+e+f+a+b+c) \cdot (d+e+f-a-b-c) [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2+(d+e+f)^2 - 2\cdot (de+df+ef) = [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2+(d+e+f)^2 - 2\cdot (a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc) = [/tex3]
[tex3](d+e+f)^2 - (a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) = [/tex3]
[tex3](d+e+f)^2 - (a+b+c)^2 = [/tex3]
[tex3](d+e+f+a+b+c) \cdot (d+e+f-a-b-c) [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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