Olimpíadas ⇒ (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica Tópico resolvido

[snooplammer]

A expressão [tex3]\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}[/tex3]

é igual a:

[tex3]A)\frac{1}{15}\\B)\frac{1}{13}\\C)\frac{1}{16} \\D)\frac{1}{14}\\E)\frac{1}{18}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A)\frac{1}{15}\\B)\frac{1}{13}\\C)\frac{1}{16} \\D)\frac{1}{14}\\E)\frac{1}{18}[/tex3]

Dúvida e Gabarito

---

Gabarito: C

Consegui perceber que os arcos estão em P.G, mas não estou conseguindo pensar em algo pra transformar essa expressão em um complexo. Tem questões parecidas com essa na lista, em que ao invés de ser soma trigonométrica é produto trigonométrico, então também queria saber resolver esse tipo de questão por complexos

[erihh3]

A ideia é ficar forçando o seno do arco duplo.

[tex3]A=\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]A=\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}[/tex3]

Multiplique e divida por [tex3]2.\sen\frac{4\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]2.\sen\frac{4\pi}{15}[/tex3]

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{4\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{2.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{4\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{2.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Utilizando a fórmula do seno duplo: [tex3]\sen\frac{8\pi}{15}=2.\sen\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{4\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]\sen\frac{8\pi}{15}=2.\sen\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{4\pi}{15}[/tex3]

, tem-se:

[tex3]A=\frac{\sen\frac{8\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{2.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\sen\frac{8\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{2.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Multiplicando e dividindo por 2

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{8\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{4.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{8\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{4.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Utilizando a fórmula do seno duplo novamente:

[tex3]A=\frac{\sen\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{4.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\sen\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{4.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Multiplicando e dividindo por 2

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{8.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{8.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Arco duplo:

[tex3]A=\frac{\sen\frac{32\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{8.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\sen\frac{32\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{8.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Multiplicando e dividindo por 2

[tex3]A=\frac{2\sen\frac{32\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{16.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{2\sen\frac{32\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{16.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Arco duplo

[tex3]A=\frac{\sen\frac{64\pi}{15}}{16.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\sen\frac{64\pi}{15}}{16.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Veja que [tex3]\frac{64\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]\frac{64\pi}{15}[/tex3]

e [tex3]\frac{4\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]\frac{4\pi}{15}[/tex3]

são côngruos. Veja que [tex3]\frac{64\pi}{15}=4\pi+\frac{4\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]\frac{64\pi}{15}=4\pi+\frac{4\pi}{15}[/tex3]

Deste modo, [tex3]\sen\frac{64\pi}{15}=\sen\frac{4\pi}{15}[/tex3]

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[tex3]\sen\frac{64\pi}{15}=\sen\frac{4\pi}{15}[/tex3]

.

Daí,

[tex3]A=\frac{1}{16}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{1}{16}[/tex3]

[MateusQqMD]

Outra ideia

Seja [tex3]\text{z} = \cis\(\frac{4\pi}{15}\)[/tex3]

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[tex3]\text{z} = \cis\(\frac{4\pi}{15}\)[/tex3]

[tex3]\text{z} + \text{z}^{-1} = 2\cos\(\frac{4\pi}{15}\) [/tex3]

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[tex3]\text{z} + \text{z}^{-1} = 2\cos\(\frac{4\pi}{15}\) [/tex3]

[tex3]\text{z}^2 + \text{z}^{-2} = 2\cos\(\frac{8\pi}{15}\) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{z}^2 + \text{z}^{-2} = 2\cos\(\frac{8\pi}{15}\) [/tex3]

[tex3]\text{z}^4 + \text{z}^{-4} = 2\cos\(\frac{16\pi}{15}\) [/tex3]

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[tex3]\text{z}^4 + \text{z}^{-4} = 2\cos\(\frac{16\pi}{15}\) [/tex3]

[tex3]\text{z}^8 + \text{z}^{-8} = 2\cos\(\frac{32\pi}{15}\) [/tex3]

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[tex3]\text{z}^8 + \text{z}^{-8} = 2\cos\(\frac{32\pi}{15}\) [/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{\text{z} - \text{z}^{-1} }{\text{z} - \text{z}^{-1}}\(\text{z} + \text{z}^{-1}\)\(\text{z}^2 + \text{z}^{-2}\)\(\text{z}^4 + \text{z}^{-4}\)\(\text{z}^8 + \text{z}^{-8}\) = 16\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\text{z} - \text{z}^{-1} }{\text{z} - \text{z}^{-1}}\(\text{z} + \text{z}^{-1}\)\(\text{z}^2 + \text{z}^{-2}\)\(\text{z}^4 + \text{z}^{-4}\)\(\text{z}^8 + \text{z}^{-8}\) = 16\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} [/tex3]

[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

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[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

Portanto, [tex3]\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} = \frac{1}{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} = \frac{1}{16}[/tex3]

[snooplammer]

Entendi as duas explicações, muito boas

Obrigado, erihh3 e MateusQqMD

Vou marcar a resposta aceita do MateusQqMD, por eu ter pedido por uma solução usando complexos(porque a lista é de complexos), mas se pudesses marcava as duas

A ideia de usar [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3]

foi por algum motivo aparente? Ela foi boa, pois no final resultou em arcos côngruos e forçou o 1 a aparecer, eu não iria ter pensado nisso

[MateusQqMD]

Então, a motivação para [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3]

veio de outros problemas iguais a esse feitos anteriormente. Basicamente eu já tinha visto a ideia antes

[pennyworth]

[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

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[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!

[Deleted User 24633]

[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

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[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!

Por definição [tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

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[tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

logo [tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

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[tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

subtraindo vem [tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3]

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[tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3]

(lembrando das identidades [tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3]

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[tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3]

e [tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]

Da mesma forma [tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]

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[tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]

De certa forma a solução do erihh3 e do MateusQqMD são análogas no argumento final por conta do argumento de arcos côngruos.

[pennyworth]

[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

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[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!

Por definição [tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

logo [tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

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[tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]

subtraindo vem [tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3]

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[tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3]

(lembrando das identidades [tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3]

e [tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]

Da mesma forma [tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]

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[tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]

De certa forma a solução do erihh3 e do MateusQqMD são análogas no argumento final por conta do argumento de arcos côngruos.

Ahh, entendi perfeitamente agora! Agradeço imensamente pela ajuda!!

[guga47222]

A ideia de usar [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3]

foi por algum motivo aparente? Ela foi boa, pois no final resultou em arcos côngruos e forçou o 1 a aparecer, eu não iria ter pensado nisso

Acho que um ótimo motivo para pôr esse termo é o fato dele facilitar extremamente o cálculo, pois observe que, sem ele, não seria possível utilizar o produto notável (a+b)(a-b) = a² - b², tornando o cálculo extremamente mais trabalhoso.