pennyworth escreveu: ↑Ter 01 Set, 2020 16:10
MateusQqMD escreveu: ↑Sáb 02 Fev, 2019 20:31
[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]
Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!
Por definição [tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]
logo [tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]
subtraindo vem [tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3]
(lembrando das identidades [tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3]
e [tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]
Da mesma forma [tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]
De certa forma a solução do
erihh3 e do
MateusQqMD são análogas no argumento final por conta do argumento de arcos côngruos.