Olimpíadas(O.M.Campinense) Expressão trigonométrica Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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snooplammer
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Fev 2019 02 19:38

(O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por snooplammer »

A expressão [tex3]\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}[/tex3] é igual a:

[tex3]A)\frac{1}{15}\\B)\frac{1}{13}\\C)\frac{1}{16} \\D)\frac{1}{14}\\E)\frac{1}{18}[/tex3]

Dúvida e Gabarito


Gabarito: C

Consegui perceber que os arcos estão em P.G, mas não estou conseguindo pensar em algo pra transformar essa expressão em um complexo. Tem questões parecidas com essa na lista, em que ao invés de ser soma trigonométrica é produto trigonométrico, então também queria saber resolver esse tipo de questão por complexos



Última edição: snooplammer (Sáb 02 Fev, 2019 19:40). Total de 1 vez.



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erihh3
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Fev 2019 02 20:24

Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por erihh3 »

A ideia é ficar forçando o seno do arco duplo.

[tex3]A=\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}[/tex3]

Multiplique e divida por [tex3]2.\sen\frac{4\pi}{15}[/tex3]

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{4\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{2.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Utilizando a fórmula do seno duplo: [tex3]\sen\frac{8\pi}{15}=2.\sen\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{4\pi}{15}[/tex3] , tem-se:

[tex3]A=\frac{\sen\frac{8\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{2.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Multiplicando e dividindo por 2

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{8\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{4.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Utilizando a fórmula do seno duplo novamente:

[tex3]A=\frac{\sen\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{4.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Multiplicando e dividindo por 2

[tex3]A=\frac{2.\sen\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{8.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Arco duplo:

[tex3]A=\frac{\sen\frac{32\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{8.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Multiplicando e dividindo por 2

[tex3]A=\frac{2\sen\frac{32\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15}}{16.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Arco duplo

[tex3]A=\frac{\sen\frac{64\pi}{15}}{16.\sen\frac{4\pi}{15}}[/tex3]

Veja que [tex3]\frac{64\pi}{15}[/tex3] e [tex3]\frac{4\pi}{15}[/tex3] são côngruos. Veja que [tex3]\frac{64\pi}{15}=4\pi+\frac{4\pi}{15}[/tex3]

Deste modo, [tex3]\sen\frac{64\pi}{15}=\sen\frac{4\pi}{15}[/tex3] .

Daí,

[tex3]A=\frac{1}{16}[/tex3]



Ciclo Básico - IME

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MateusQqMD
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Fev 2019 02 20:31

Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Outra ideia

Seja [tex3]\text{z} = \cis\(\frac{4\pi}{15}\)[/tex3]

[tex3]\text{z} + \text{z}^{-1} = 2\cos\(\frac{4\pi}{15}\) [/tex3]

[tex3]\text{z}^2 + \text{z}^{-2} = 2\cos\(\frac{8\pi}{15}\) [/tex3]

[tex3]\text{z}^4 + \text{z}^{-4} = 2\cos\(\frac{16\pi}{15}\) [/tex3]

[tex3]\text{z}^8 + \text{z}^{-8} = 2\cos\(\frac{32\pi}{15}\) [/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{\text{z} - \text{z}^{-1} }{\text{z} - \text{z}^{-1}}\(\text{z} + \text{z}^{-1}\)\(\text{z}^2 + \text{z}^{-2}\)\(\text{z}^4 + \text{z}^{-4}\)\(\text{z}^8 + \text{z}^{-8}\) = 16\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} [/tex3]

[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]

Portanto, [tex3]\cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} = \frac{1}{16}[/tex3]


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por snooplammer »

Entendi as duas explicações, muito boas

Obrigado, erihh3 e MateusQqMD

Vou marcar a resposta aceita do MateusQqMD, por eu ter pedido por uma solução usando complexos(porque a lista é de complexos), mas se pudesses marcava as duas

A ideia de usar [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3] foi por algum motivo aparente? Ela foi boa, pois no final resultou em arcos côngruos e forçou o 1 a aparecer, eu não iria ter pensado nisso



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MateusQqMD
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Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Então, a motivação para [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3] veio de outros problemas iguais a esse feitos anteriormente. Basicamente eu já tinha visto a ideia antes


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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pennyworth
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Set 2020 01 16:10

Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por pennyworth »

MateusQqMD escreveu:
Sáb 02 Fev, 2019 20:31
[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]
Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!
Última edição: pennyworth (Ter 01 Set, 2020 16:10). Total de 1 vez.



Deleted User 24633
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Set 2020 01 16:51

Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

pennyworth escreveu:
Ter 01 Set, 2020 16:10
MateusQqMD escreveu:
Sáb 02 Fev, 2019 20:31
[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]
Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!
Por definição [tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]
logo [tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]
subtraindo vem [tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3] (lembrando das identidades [tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3] e [tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]

Da mesma forma [tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]

De certa forma a solução do erihh3 e do MateusQqMD são análogas no argumento final por conta do argumento de arcos côngruos.
Última edição: Deleted User 24633 (Ter 01 Set, 2020 17:00). Total de 5 vezes.



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pennyworth
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Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por pennyworth »

pedro1729 escreveu:
Ter 01 Set, 2020 16:51
pennyworth escreveu:
Ter 01 Set, 2020 16:10
MateusQqMD escreveu:
Sáb 02 Fev, 2019 20:31
[tex3]\frac{\text{z}^{16} - \text{z}^{-16} }{\text{z} - \text{z}^{-1}} = 1[/tex3]
Como se determina esse valor como sendo 1? Obg!!
Por definição [tex3]z:= \cis \left (\dfrac{4\pi}{15} \right) =e^{\dfrac{4\pi i}{15}} = \cos \left(\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( \dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]
logo [tex3]z^{-1} = e^{\dfrac{-4\pi i}{15}} = \cos \left(-\dfrac{4\pi}{15} \right) +i \sin \left( -\dfrac{4\pi}{15} \right)[/tex3]
subtraindo vem [tex3]z-z^{-1} = 2 i\sin\left( \dfrac{4\pi}{15} \right) [/tex3] (lembrando das identidades [tex3]\cos (\theta) = \cos (- \theta)[/tex3] e [tex3]\sin(-\theta) = - \sin (\theta).[/tex3]

Da mesma forma [tex3]z^{16}
- z^{-16} = 2
\sin \left( \dfrac{16\cdot 4\pi=64 \pi}{15} \right) = 2i\sin \left(4\pi + \dfrac{4\pi}{15} \right) =2i\sin\left(\dfrac{4\pi}{15} \right) =z-z^{-1}[/tex3]

De certa forma a solução do erihh3 e do MateusQqMD são análogas no argumento final por conta do argumento de arcos côngruos.
Ahh, entendi perfeitamente agora! Agradeço imensamente pela ajuda!! :D



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guga47222
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Re: (O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Mensagem não lida por guga47222 »

snooplammer escreveu:
Sáb 02 Fev, 2019 21:06
A ideia de usar [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z-z^{-1}}[/tex3] foi por algum motivo aparente? Ela foi boa, pois no final resultou em arcos côngruos e forçou o 1 a aparecer, eu não iria ter pensado nisso
Acho que um ótimo motivo para pôr esse termo é o fato dele facilitar extremamente o cálculo, pois observe que, sem ele, não seria possível utilizar o produto notável (a+b)(a-b) = a² - b², tornando o cálculo extremamente mais trabalhoso.

Última edição: guga47222 (Seg 05 Abr, 2021 12:22). Total de 2 vezes.



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