\sen x+ \sen2x+\sen3x+ \sen 4x=0 \\
\cos x +\cos 2x+\cos 3x+ \cos4x=-1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]A)18°\\B)36°\\C)54°\\D)72°\\E)82°[/tex3]
Minha tentativa e o Gabarito
Gabarito: D
[tex3]\begin{cases}
\sen x+ \sen2x+\sen3x+ \sen 4x=0\ \ (I) \\
\cos x +\cos 2x+\cos 3x+ \cos4x=-1 \ \ (II)
\end{cases}[/tex3]
Multiplicando (I) por [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
i\sen x+ i\sen2x+i\sen3x+ i\sen 4x=0 \\
\cos x +\cos 2x+\cos 3x+ \cos4x=-1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]I+II[/tex3]
[tex3](\cos x+i\sen x)+(\cos 2x +i\sen 2x)+(\cos 3x+i\sen 3x)+(\cos 4x+i\sen 4x)=-1[/tex3]
[tex3]\cis x + \cis 2x+ \cis 3x+ \cis4x=-1[/tex3]
Seja [tex3]\cis x + \cis 2x+ \cis 3x+ \cis4x[/tex3] a soma de uma P.G finita
[tex3]S=\frac{\cis x((\cis x)^4-1)}{\cis x -1}=\frac{\cis x(\cis 4x-1)}{\cis x-1}[/tex3]
[tex3]\frac{\cis x(\cis 4x-1)}{\cis x-1}=-1[/tex3]
[tex3]\cis5x -\cis x=-\cis x+1[/tex3]
[tex3]\cis 5x=1[/tex3]
[tex3]5x=180\therefore x=36°[/tex3]
ou
[tex3]5x=360\therefore x=72°[/tex3]
Minha pergunta é: por que não poderia ser 36°?
