Olimpíadas ⇒ Irlanda-98 Tópico resolvido

[Baguncinha]

Mostre que nenhum inteiro da forma xyxy em base 10 (onde x e y são dígitos) podem ser o cubo de um inteiro.

[erihh3]

Vamos escrever o número na base 10:

[tex3]N=10^3x+10^2y+10x+y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=10^3x+10^2y+10x+y[/tex3]

[tex3]N=10x\(10^2+1\)+y\(10^2+1\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=10x\(10^2+1\)+y\(10^2+1\)[/tex3]

[tex3]N=101(10x+y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=101(10x+y)[/tex3]

Faremos 3 observações agora:

1) Para que exista um número escrito na forma apresentada na base decimal, [tex3]x,y\in \mathbb{N}|\, x,y\in [0;9][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,y\in \mathbb{N}|\, x,y\in [0;9][/tex3]

;

2) 101 é um número primo;

3) Se x e y pertencem aos naturais, 10x+y também pertence.

Daí, para ser o cubo de um número inteiro dado que 10x+y é natural só é possível se

[tex3]N=1.101.101^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N=1.101.101^2[/tex3]

No entanto, isso é impossível por conta da observação 1. Veja que o valor máximo admitido por para 10x+y é 99 de acordo com essa condição.

Portanto, é impossível que um número dessa forma seja o cubo de um número inteiro.