Olimpiada de maio 2006
No quadro negro estão escritos vários números primos (alguns deles repetidos). Mauro somou os números do quadro negro e Fernando multiplicou os números do quadro negro. O resultado que obteve Fernando é igual a 40 vezes o resultado que obteve Mauro. Determinar quais podem ser os números do quadro negro. Diga todas as possibilidades.
Olimpíadas ⇒ Números Primos
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
dylanchan0910
- Mensagens: 47
- Registrado em: Sex 04 Jan, 2019 11:03
- Última visita: 03-11-21
Fev 2019
01
11:27
Números Primos
Última edição: caju (Sex 01 Fev, 2019 11:32). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título.
Razão: arrumar título.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2019
01
21:32
Re: Números Primos
[tex3]\prod_{i=1}^n p_i = 40 \sum_{i=1}^n p_i[/tex3]
devemos ter então [tex3]2\, \text e \,5[/tex3] no quadro, o número [tex3]2[/tex3] aparecendo no mínimo [tex3]3[/tex3] vezes:
[tex3]\prod_{i=1}^{n-4} p_i = \sum_{i=1}^{n-4} p_i + 11[/tex3]
todo [tex3]p_i \geq 2[/tex3]
se algum [tex3]p_k \geq 11 \implies \prod_{i=1}^{n-4} p_i \geq11 \prod_{i=1, i \neq k}^{n-4} p_i > 11 + 11 + \sum_{i=1, i \neq k}^{n-4} p_i [/tex3]
então teremos [tex3]\prod_{i=1 }^{n} p_i > 2 + \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i}{11} [/tex3] o que é verdade, a menos que [tex3]n=1[/tex3] e [tex3]p=2[/tex3]
o único caso possível de exceção então é: [tex3]11 \cdot 2 = 22 < 11 + 11 + 2[/tex3] como não ocorre a igualdade este caso não importa.
O importante então é o seguinte não pode existir nenhum [tex3]p > 7[/tex3] no quadro.
Agora vamos supor que existem [tex3]a[/tex3] números [tex3]2[/tex3] , [tex3]b[/tex3] números [tex3]3[/tex3] , [tex3]c[/tex3] números [tex3]5[/tex3] , [tex3]d[/tex3] números [tex3]7[/tex3] .
[tex3]2^a3^b5^c7^d = 11 + 2a+3b+5c+7d[/tex3]
Se [tex3]d>1[/tex3] então [tex3]49 (2^a3^b5^c7^{d-2}) > 11 + 2a+3b+5c+7d[/tex3] desculpa não provar essas partes, daria muito trabalho
Se [tex3]d=1[/tex3]
[tex3]72^a3^b5^c = 18 + 2a + 3b+5c[/tex3]
as opções são: [tex3]a=c=0, b=1[/tex3] neste caso temos [tex3]21=21[/tex3] , funciona! É uma opção.
[tex3]a=5,b=c=0[/tex3] neste caso temos [tex3]7 \cdot 32 > 18+10[/tex3] não funciona, nem [tex3]a=b=0, c=2[/tex3] também não funciona.
Dai teria que ver que qualquer múltiplo de 7 maior que [tex3]21[/tex3] menos [tex3]18[/tex3] quando escrito da forma [tex3]2a+3b+5c[/tex3] é menor que [tex3]2^a3^b5^c[/tex3] (porque as exponenciais crescem muito mais que as lineares, mas provar dá uma dor de cabeça)
Se [tex3]d=0[/tex3]
[tex3]2^a3^b5^c = 11 + 2a + 3b + 5c[/tex3] se [tex3]a=b=0[/tex3] teremos um absurdo, lado direito não divisível por 5, lado esquerdo é [tex3]5^c[/tex3] .
supondo [tex3]a=0[/tex3] [tex3]3^b5^c = 11 + 3b+5c[/tex3] , se [tex3]b>0[/tex3] devemos ter [tex3]c \equiv -1 \mod 3[/tex3] o menor [tex3]c[/tex3] possível é [tex3]2[/tex3] mas é fácil ver que [tex3]25 \cdot 3^b > 21 + 3b[/tex3] e como a exponencial cresce muito rápido [tex3]c>2[/tex3] fica inalcançável do lado direito. Se [tex3]b=0[/tex3] temos o absurdo de um lado ser divisível por 5 e o outro não.
[tex3]a>0[/tex3]
[tex3]2^a3^b5^c = 11 + 2a + 3b + 5c[/tex3]
dá muito trabalho, mas tem que verificar que não tem nenhuma solução aqui (eu acho) você pode pensar que neste caso a diferença entre a exponencial e a linear é ainda maior do que quando [tex3]a=0[/tex3] e testar quando os expoentes são 0 ou 1.
a única solução então é: [tex3]2,2,2,3,5,7[/tex3]
devemos ter então [tex3]2\, \text e \,5[/tex3] no quadro, o número [tex3]2[/tex3] aparecendo no mínimo [tex3]3[/tex3] vezes:
[tex3]\prod_{i=1}^{n-4} p_i = \sum_{i=1}^{n-4} p_i + 11[/tex3]
todo [tex3]p_i \geq 2[/tex3]
se algum [tex3]p_k \geq 11 \implies \prod_{i=1}^{n-4} p_i \geq11 \prod_{i=1, i \neq k}^{n-4} p_i > 11 + 11 + \sum_{i=1, i \neq k}^{n-4} p_i [/tex3]
então teremos [tex3]\prod_{i=1 }^{n} p_i > 2 + \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i}{11} [/tex3] o que é verdade, a menos que [tex3]n=1[/tex3] e [tex3]p=2[/tex3]
o único caso possível de exceção então é: [tex3]11 \cdot 2 = 22 < 11 + 11 + 2[/tex3] como não ocorre a igualdade este caso não importa.
O importante então é o seguinte não pode existir nenhum [tex3]p > 7[/tex3] no quadro.
Agora vamos supor que existem [tex3]a[/tex3] números [tex3]2[/tex3] , [tex3]b[/tex3] números [tex3]3[/tex3] , [tex3]c[/tex3] números [tex3]5[/tex3] , [tex3]d[/tex3] números [tex3]7[/tex3] .
[tex3]2^a3^b5^c7^d = 11 + 2a+3b+5c+7d[/tex3]
Se [tex3]d>1[/tex3] então [tex3]49 (2^a3^b5^c7^{d-2}) > 11 + 2a+3b+5c+7d[/tex3] desculpa não provar essas partes, daria muito trabalho
Se [tex3]d=1[/tex3]
[tex3]72^a3^b5^c = 18 + 2a + 3b+5c[/tex3]
as opções são: [tex3]a=c=0, b=1[/tex3] neste caso temos [tex3]21=21[/tex3] , funciona! É uma opção.
[tex3]a=5,b=c=0[/tex3] neste caso temos [tex3]7 \cdot 32 > 18+10[/tex3] não funciona, nem [tex3]a=b=0, c=2[/tex3] também não funciona.
Dai teria que ver que qualquer múltiplo de 7 maior que [tex3]21[/tex3] menos [tex3]18[/tex3] quando escrito da forma [tex3]2a+3b+5c[/tex3] é menor que [tex3]2^a3^b5^c[/tex3] (porque as exponenciais crescem muito mais que as lineares, mas provar dá uma dor de cabeça)
Se [tex3]d=0[/tex3]
[tex3]2^a3^b5^c = 11 + 2a + 3b + 5c[/tex3] se [tex3]a=b=0[/tex3] teremos um absurdo, lado direito não divisível por 5, lado esquerdo é [tex3]5^c[/tex3] .
supondo [tex3]a=0[/tex3] [tex3]3^b5^c = 11 + 3b+5c[/tex3] , se [tex3]b>0[/tex3] devemos ter [tex3]c \equiv -1 \mod 3[/tex3] o menor [tex3]c[/tex3] possível é [tex3]2[/tex3] mas é fácil ver que [tex3]25 \cdot 3^b > 21 + 3b[/tex3] e como a exponencial cresce muito rápido [tex3]c>2[/tex3] fica inalcançável do lado direito. Se [tex3]b=0[/tex3] temos o absurdo de um lado ser divisível por 5 e o outro não.
[tex3]a>0[/tex3]
[tex3]2^a3^b5^c = 11 + 2a + 3b + 5c[/tex3]
dá muito trabalho, mas tem que verificar que não tem nenhuma solução aqui (eu acho) você pode pensar que neste caso a diferença entre a exponencial e a linear é ainda maior do que quando [tex3]a=0[/tex3] e testar quando os expoentes são 0 ou 1.
a única solução então é: [tex3]2,2,2,3,5,7[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 02 Fev, 2019 17:06). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 2 Respostas
- 806 Exibições
-
Última msg por MatheusCNIME
-
- 0 Respostas
- 455 Exibições
-
Última msg por MatheusCNIME
-
- 0 Respostas
- 126 Exibições
-
Última msg por Babi123
-
- 5 Respostas
- 376 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 3 Respostas
- 199 Exibições
-
Última msg por Babi123
