OlimpíadasGeometria - Problema 18

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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jvmago
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Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por jvmago »

Em um triangulo [tex3]ABC[/tex3] retangulo em [tex3]B[/tex3] marcam-se os pontos, de tangencia da circunferencia inscrita neste triangulo, [tex3]M,N,P[/tex3] sobre os lados [tex3]AB,BC,AC[/tex3] respectivamente. Sejam [tex3]S_1[/tex3] e [tex3]S_2[/tex3] as áreas das semi circunferencias com diametros [tex3]AM[/tex3] e [tex3]NC[/tex3] , determine a área desse triangulo
Resposta

[tex3]S=AN*NC[/tex3] e [tex3]S=\frac{8\sqrt{S_1*S_2}}{\pi}[/tex3]



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

boa pergunta, é só a aplicação do teorema de Stewart, mas eu não sei quanto vale o tamanho dessas cevianas de gergonne mesmo.

[tex3]BM = p-b[/tex3]
[tex3]CM = p-c[/tex3]
fazendo Stewart, nesse triângulo
[tex3](p-b) \cdot b^2 + (p-c)\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot (a^2+c^2) + (p-c)\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot a^2 + (p-c + p-b)\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot a^2 + a\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot a + c^2 = (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b)^2 + c^2 = x^2[/tex3]
logo sabemos quanto vale [tex3]AM^2 = c^2 + (p-b)^2[/tex3]
analogamente [tex3]CN^2 = a^2 + (p-b)^2[/tex3]

certeza que [tex3]S = AM \cdot CN[/tex3]
?




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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por jvmago »

sousóeu escreveu:
Ter 29 Jan, 2019 16:27
boa pergunta, é só a aplicação do teorema de Stewart, mas eu não sei quanto vale o tamanho dessas cevianas de gergonne mesmo.

[tex3]BM = p-b[/tex3]
[tex3]CM = p-c[/tex3]
fazendo Stewart, nesse triângulo
[tex3](p-b) \cdot b^2 + (p-c)\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot (a^2+c^2) + (p-c)\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot a^2 + (p-c + p-b)\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot a^2 + a\cdot c^2 = a \cdot (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b) \cdot a + c^2 = (x^2 + (p-b)(p-c))[/tex3]
[tex3](p-b)^2 + c^2 = x^2[/tex3]
logo sabemos quanto vale [tex3]AM^2 = c^2 + (p-b)^2[/tex3]
analogamente [tex3]CN^2 = a^2 + (p-b)^2[/tex3]

certeza que [tex3]S = AM \cdot CN[/tex3]
?
Positivo


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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por jvmago »

Não entendi o lance do gergonne :/


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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

é o nome pra essas cevianas, eu acho. Elas concorrem no ponto de Gergonne



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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por jvmago »

sousóeu escreveu:
Ter 29 Jan, 2019 16:42
é o nome pra essas cevianas, eu acho. Elas concorrem no ponto de Gergonne
AAAAH sim!! Já estava "googleando" "cevianas de gergonne " que nem maluco :lol:
Última edição: jvmago (Ter 29 Jan, 2019 16:44). Total de 1 vez.


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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

no google nem aparece tanto das cevianas, o ponto é bem famoso http://www.matematica.br/igeom/manual/p ... gonne.html



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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por jvmago »

Essa desgraça de ponto pode me ajudar em uns problemas aqui u.u obg pela informação!!


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Geometria - Problema 18

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Essa desgraça de ponto pode me ajudar em uns problemas aqui u.u obg pela informação!!


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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Geometria - Problema 18

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

de vestibular não, só de geometria mesmo




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