Olimpíadas ⇒ (AIME) Geometria
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GabrielOBM 
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Jan 2019
16
09:49
(AIME) Geometria
Num triângulo [tex3]ABC[/tex3]
, [tex3]A_1,B_1,C_1[/tex3]
estão sobre os lados [tex3]BC[/tex3]
, [tex3]CA[/tex3]
, [tex3]AB[/tex3]
, respectivamente. Dado que [tex3]AA_1,\,BB_1,\,CC_1[/tex3]
são concorrentes no ponto [tex3]O[/tex3]
, e que [tex3]\frac{AO}{OA_1}+\frac{BO}{OB_1}+\frac{CO}{OC_1}=92[/tex3]
. Encontre o valor do produto das três parcelas anteriores.
Última edição: caju (Qua 16 Jan, 2019 10:16). Total de 1 vez.
Razão: retirar caps lock do título.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2019
16
15:52
Re: (AIME) Geometria
[tex3]AO = A_1O - A_1A = A_1O + AA_1[/tex3]
[tex3]\frac{AO}{OA_1}+\frac{BO}{OB_1}+\frac{CO}{OC_1}=92[/tex3]
[tex3]\frac{A_1O + AA_1}{OA_1}+\frac{B_1O + BB_1}{OB_1}+\frac{C_1O + CC_1}{OC_1}=92[/tex3]
vou considerar apenas o caso do ponto ser interior ao triângulo.
[tex3]\frac{AA_1}{OA_1} + \frac{BB_1}{OB_1} + \frac{CC_1}{OC_1} = 95[/tex3]
como
[tex3]\frac{AA_1}{OA_1} = \frac{h_a}{o_a}[/tex3]
onde [tex3]o_a[/tex3] é a distância de [tex3]O[/tex3] até [tex3]BC[/tex3]
temos:
[tex3]\frac{h_a}{o_a} + \frac{h_b}{o_b} + \frac{h_c}{o_c} = 95[/tex3]
sendo
[tex3]S[/tex3] a área de [tex3]\Delta ABC[/tex3]
[tex3]2S(\frac{1}{ao_a} + \frac{1}{bo_b} + \frac{1}{co_c})= 95[/tex3]
[tex3]2S = ao_a + bo_b +co_c[/tex3]
temos então a seguinte expressão:
[tex3]95 = (ao_a + bo_b +co_c)(\frac{1}{ao_a} + \frac{1}{bo_b} + \frac{1}{co_c})[/tex3]
o produto dos termos é
[tex3](\frac{h_a}{o_a}-1)(\frac{h_b}{o_b}-1)(\frac{h_c}{o_c}-1)[/tex3]
acho que o jeito é fazer o truque da área e expandir essas duas expressões em termos de [tex3]ao_a,bo_b,co_c[/tex3]
[tex3]\frac{AO}{OA_1}+\frac{BO}{OB_1}+\frac{CO}{OC_1}=92[/tex3]
[tex3]\frac{A_1O + AA_1}{OA_1}+\frac{B_1O + BB_1}{OB_1}+\frac{C_1O + CC_1}{OC_1}=92[/tex3]
vou considerar apenas o caso do ponto ser interior ao triângulo.
[tex3]\frac{AA_1}{OA_1} + \frac{BB_1}{OB_1} + \frac{CC_1}{OC_1} = 95[/tex3]
como
[tex3]\frac{AA_1}{OA_1} = \frac{h_a}{o_a}[/tex3]
onde [tex3]o_a[/tex3] é a distância de [tex3]O[/tex3] até [tex3]BC[/tex3]
temos:
[tex3]\frac{h_a}{o_a} + \frac{h_b}{o_b} + \frac{h_c}{o_c} = 95[/tex3]
sendo
[tex3]S[/tex3] a área de [tex3]\Delta ABC[/tex3]
[tex3]2S(\frac{1}{ao_a} + \frac{1}{bo_b} + \frac{1}{co_c})= 95[/tex3]
[tex3]2S = ao_a + bo_b +co_c[/tex3]
temos então a seguinte expressão:
[tex3]95 = (ao_a + bo_b +co_c)(\frac{1}{ao_a} + \frac{1}{bo_b} + \frac{1}{co_c})[/tex3]
o produto dos termos é
[tex3](\frac{h_a}{o_a}-1)(\frac{h_b}{o_b}-1)(\frac{h_c}{o_c}-1)[/tex3]
acho que o jeito é fazer o truque da área e expandir essas duas expressões em termos de [tex3]ao_a,bo_b,co_c[/tex3]
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2019
16
16:59
Re: (AIME) Geometria
cheguei em 94:
[tex3]ao_a =x[/tex3]
[tex3]bo_b =y[/tex3]
[tex3]co_c =z[/tex3]
[tex3]2S = x+y +z = \sigma _1[/tex3]
[tex3]xz + yx + zy = \sigma _2[/tex3]
[tex3]xyz = \sigma _ 3[/tex3]
das relações de girard: [tex3]x^3 - \sigma_1 x^2 + \sigma_2x - \sigma _ 3 = 0[/tex3]
veja que temos que:
[tex3]95 = \sigma_1(\frac1x + \frac 1y + \frac 1z) = \sigma_1 \cdot (\frac{\sigma_2}{\sigma_3})[/tex3]
queremos encontrar:
[tex3](\frac{h_a}{o_a}-1)(\frac{h_b}{o_b}-1)(\frac{h_c}{o_c}-1) = [/tex3]
[tex3](\frac{2S}{x}-1)(\frac{2S}{y}-1)(\frac{2S}{z}-1) = [/tex3]
[tex3](\frac{x+y+z}{x}-1)(\frac{x+y+z}{y}-1)(\frac{x+y+z}{z}-1) = [/tex3]
[tex3]\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{xyz} = [/tex3]
[tex3]\frac{(x^2+xz + xy + yz)(y+z)}{xyz} = \frac{(x^2+\sigma_2)(\sigma_1-x)}{\sigma_3}= [/tex3]
[tex3]\frac{-x^3 + x^2 \sigma_1 + \sigma_2 \sigma_1 - x \sigma_2}{\sigma_3}=[/tex3]
mas [tex3]x^3 - \sigma_1 x^2 + \sigma_2x = \sigma _ 3 [/tex3]
[tex3]= \frac{\sigma_1 \sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_3} = 95 - 1 = 94[/tex3]
[tex3]ao_a =x[/tex3]
[tex3]bo_b =y[/tex3]
[tex3]co_c =z[/tex3]
[tex3]2S = x+y +z = \sigma _1[/tex3]
[tex3]xz + yx + zy = \sigma _2[/tex3]
[tex3]xyz = \sigma _ 3[/tex3]
das relações de girard: [tex3]x^3 - \sigma_1 x^2 + \sigma_2x - \sigma _ 3 = 0[/tex3]
veja que temos que:
[tex3]95 = \sigma_1(\frac1x + \frac 1y + \frac 1z) = \sigma_1 \cdot (\frac{\sigma_2}{\sigma_3})[/tex3]
queremos encontrar:
[tex3](\frac{h_a}{o_a}-1)(\frac{h_b}{o_b}-1)(\frac{h_c}{o_c}-1) = [/tex3]
[tex3](\frac{2S}{x}-1)(\frac{2S}{y}-1)(\frac{2S}{z}-1) = [/tex3]
[tex3](\frac{x+y+z}{x}-1)(\frac{x+y+z}{y}-1)(\frac{x+y+z}{z}-1) = [/tex3]
[tex3]\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{xyz} = [/tex3]
[tex3]\frac{(x^2+xz + xy + yz)(y+z)}{xyz} = \frac{(x^2+\sigma_2)(\sigma_1-x)}{\sigma_3}= [/tex3]
[tex3]\frac{-x^3 + x^2 \sigma_1 + \sigma_2 \sigma_1 - x \sigma_2}{\sigma_3}=[/tex3]
mas [tex3]x^3 - \sigma_1 x^2 + \sigma_2x = \sigma _ 3 [/tex3]
[tex3]= \frac{\sigma_1 \sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_3} = 95 - 1 = 94[/tex3]
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