Olimpíadas ⇒ Material POTI - Geometria Tópico resolvido
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Material POTI - Geometria
Sejam AD e BE as alturas relativas do lado BC e AC, respectivamente, do triangulo ABC, H o ortocentro, M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CH. Mostre que MN é perpendicular e passa pelo ponto médio de DE.
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13:22
Re: Material POTI - Geometria
Esse resultado aqui é bem importante:
O quadrilátero [tex3]AEDB[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle AEB = \angle ADB = 90[/tex3]
como o ângulo inscrito do arco [tex3]AB[/tex3] é 90, então o arco [tex3]AB[/tex3] vale [tex3]180[/tex3] e portanto a reta [tex3]AB[/tex3] é diâmetro do círculo passando por [tex3]ABDE[/tex3] e então [tex3]M[/tex3] é centro desse círculo.
Agora, como [tex3]M[/tex3] é centro do círculo então [tex3]MD=ME[/tex3] .
Olhemos agora para o triângulo retângulo [tex3]\Delta DHC[/tex3] como [tex3]N[/tex3] é ponto médio da hipotenusa, podemos usar o mesmo resultado acima para mostrar que [tex3]N[/tex3] é circuncentro do triãngulo [tex3]\Delta DHC[/tex3] portanto [tex3]NH=NC=ND[/tex3] .
Olhando agora para [tex3]\Delta EHC[/tex3] temos que [tex3]N[/tex3] também é circuncentro deste triângulo retângulo, logo [tex3]NH=NC=NE=ND[/tex3] .
Então veja que [tex3]NE=ND[/tex3] e [tex3]MD=ME[/tex3] logo a reta [tex3]MN[/tex3] é mediatriz do segmento [tex3]DE[/tex3] e portanto é perpendicular a ele e passa pelo seu ponto médio. Qualquer dúvida pergunte
O quadrilátero [tex3]AEDB[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle AEB = \angle ADB = 90[/tex3]
como o ângulo inscrito do arco [tex3]AB[/tex3] é 90, então o arco [tex3]AB[/tex3] vale [tex3]180[/tex3] e portanto a reta [tex3]AB[/tex3] é diâmetro do círculo passando por [tex3]ABDE[/tex3] e então [tex3]M[/tex3] é centro desse círculo.
Agora, como [tex3]M[/tex3] é centro do círculo então [tex3]MD=ME[/tex3] .
Olhemos agora para o triângulo retângulo [tex3]\Delta DHC[/tex3] como [tex3]N[/tex3] é ponto médio da hipotenusa, podemos usar o mesmo resultado acima para mostrar que [tex3]N[/tex3] é circuncentro do triãngulo [tex3]\Delta DHC[/tex3] portanto [tex3]NH=NC=ND[/tex3] .
Olhando agora para [tex3]\Delta EHC[/tex3] temos que [tex3]N[/tex3] também é circuncentro deste triângulo retângulo, logo [tex3]NH=NC=NE=ND[/tex3] .
Então veja que [tex3]NE=ND[/tex3] e [tex3]MD=ME[/tex3] logo a reta [tex3]MN[/tex3] é mediatriz do segmento [tex3]DE[/tex3] e portanto é perpendicular a ele e passa pelo seu ponto médio. Qualquer dúvida pergunte
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