Olimpíadas ⇒ Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2019
12
14:56
Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
Boa Tarde pessoal, tudo bem ?
Então, eu tava vendo uma videoaula do POTI sobre divisibilidade, essa aqui:
https://www.youtube.com/watch?v=dbSi0vqBIhY
Ele apresenta o Lema:
Se d | a e d | b ----> d | ax + by
Beleza. Mas acontece que ele usa isso nos problemas de uma forma como se estivesse garantido da volta, por exemplo, no ultimo problema ele quer descobrir qual o maior n para o qual n+10 divide n^3+100.
Aí ele faz:
Bom, n^3 + 1000 = (n+10)(...)
Logo, n+10 divide n^3+1000
Então vamos descobrir esse n com essas duas infos e o Lema:
n+10 | n^3 + 1000
n+10 | n^3 + 100
Usando o Lema subtraindo as "equações":
n+10 | 900, logo o maior n que encaixa é 890.
Beleza, mas provar isso não teria que ser possível verificar a volta ?:
Que seria:
n+10 | 900 ------> n+10 | n^3 + 1000
---------------------- n+10 | n^3 + 100
??
Se alguém puder esclarecer, fico agradecido. Valeu !
Então, eu tava vendo uma videoaula do POTI sobre divisibilidade, essa aqui:
https://www.youtube.com/watch?v=dbSi0vqBIhY
Ele apresenta o Lema:
Se d | a e d | b ----> d | ax + by
Beleza. Mas acontece que ele usa isso nos problemas de uma forma como se estivesse garantido da volta, por exemplo, no ultimo problema ele quer descobrir qual o maior n para o qual n+10 divide n^3+100.
Aí ele faz:
Bom, n^3 + 1000 = (n+10)(...)
Logo, n+10 divide n^3+1000
Então vamos descobrir esse n com essas duas infos e o Lema:
n+10 | n^3 + 1000
n+10 | n^3 + 100
Usando o Lema subtraindo as "equações":
n+10 | 900, logo o maior n que encaixa é 890.
Beleza, mas provar isso não teria que ser possível verificar a volta ?:
Que seria:
n+10 | 900 ------> n+10 | n^3 + 1000
---------------------- n+10 | n^3 + 100
??
Se alguém puder esclarecer, fico agradecido. Valeu !
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- Última visita: 31-12-69
Jan 2019
12
15:08
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
não, ele só está usando a ida, mas usa [tex3]x=1[/tex3]
e [tex3]y=-1[/tex3]
, nada demais
Jan 2019
12
15:17
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
eu sei que ele só está usando a ida
mas para provar isso não teria de se provar a volta?
Quero dizer, a lógica de provar que n = 890 seria de n+10|900 chegar que n divide aquelas duas outras coisas, aí sim teria provado que esse eh um valor válido.
Ou verificando que ele vale nas duas, o que é complicado nesse caso.
Tipo com equações, vc não pode só ter a ida, tem de ter a volta para provar que sua solução é aquela.
Não tô certo ?
Jan 2019
12
15:20
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
n+10|900 --------> n | n^3 + 1000 e n | n^3 + 100
eu acho que só teria provado mesmo se conseguisse fazer isso, ou verificar que 890 é um valor que funciona.
eu acho que só teria provado mesmo se conseguisse fazer isso, ou verificar que 890 é um valor que funciona.
-
- Última visita: 31-12-69
Jan 2019
12
15:23
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
não, ele está assumindo que existe o [tex3]n[/tex3]
Tudo bem, pode-se verificar depois se funciona mesmo.
Mas se existir tal [tex3]n[/tex3] então [tex3]n+10[/tex3] divide [tex3]900[/tex3]
para tentar encontrá-lo.Tudo bem, pode-se verificar depois se funciona mesmo.
Mas se existir tal [tex3]n[/tex3] então [tex3]n+10[/tex3] divide [tex3]900[/tex3]
Jan 2019
12
15:28
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
tipo a divide b e a divide c
tá, blz, então esse a divide b-c
aí observando que a divide b-c eu posso chegar a conclusao sobre quem pode ser a.
mas sei lá se esse a divide b e c em separado.
Não está certa a lógica ?
Tipo, nesse caso aí quando chega na conclusão que se existe esse n então n+10 | 900, tem vários n's possíveis, como eh que vou saber que o 890 funciona para dividir b e c, tá ligado ?
É... achei meio incerto isso, mas blz
tá, blz, então esse a divide b-c
aí observando que a divide b-c eu posso chegar a conclusao sobre quem pode ser a.
mas sei lá se esse a divide b e c em separado.
Não está certa a lógica ?
Tipo, nesse caso aí quando chega na conclusão que se existe esse n então n+10 | 900, tem vários n's possíveis, como eh que vou saber que o 890 funciona para dividir b e c, tá ligado ?
É... achei meio incerto isso, mas blz
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- Última visita: 31-12-69
Jan 2019
12
15:33
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
acho meio contraditório essas duas linhas aqui
-
- Última visita: 31-12-69
Jan 2019
12
15:38
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
eu entendi o que você está falando:
se ele divide a diferença não necessariamente divide em separado
no geral isso é verdade, pra isso você confere depois.
No caso imagina que [tex3]d[/tex3] com certeza divide [tex3]a[/tex3] , se [tex3]d[/tex3] divide [tex3]a-b[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3](-1)*(a-b) + a = b[/tex3]
se ele divide a diferença não necessariamente divide em separado
no geral isso é verdade, pra isso você confere depois.
No caso imagina que [tex3]d[/tex3] com certeza divide [tex3]a[/tex3] , se [tex3]d[/tex3] divide [tex3]a-b[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3](-1)*(a-b) + a = b[/tex3]
Jan 2019
12
15:50
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
então, eu entendi direitinho o que ele fez.
só não concordo com essa conclusão rápida de que n é 890 sem nem testar.
n+10 podia ser outro numero que dividisse 900, ou sei lá, nem existir um que funcionasse nos carinhas em separado.
Do jeito que ele fez parece que é óbvio que todos os n's que funcionam na ultima tem de funcionar nos caras em separado e o maior que funciona realmente é o 890. Sei lá, pra mim isso nao é obvio.
Consegue achar algum exemplo que faça não funcionar ? Tipo, achar duas expressoezinhas que vc some e chegue conclua que o n tem de ser algm que não funciona nos dois em separado ? kkkk
eu fico meio estressado com esses detalhes
só não concordo com essa conclusão rápida de que n é 890 sem nem testar.
n+10 podia ser outro numero que dividisse 900, ou sei lá, nem existir um que funcionasse nos carinhas em separado.
Do jeito que ele fez parece que é óbvio que todos os n's que funcionam na ultima tem de funcionar nos caras em separado e o maior que funciona realmente é o 890. Sei lá, pra mim isso nao é obvio.
Consegue achar algum exemplo que faça não funcionar ? Tipo, achar duas expressoezinhas que vc some e chegue conclua que o n tem de ser algm que não funciona nos dois em separado ? kkkk
eu fico meio estressado com esses detalhes
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- Última visita: 31-12-69
Jan 2019
12
15:56
Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
nesse caso, todos os divisores de 900 devem funcionar.
Pois todos divisores de 900 (menos 10) satisfazem: [tex3]d +10 \vert d^3 + 1000[/tex3] e [tex3]d+10 |900[/tex3]
então [tex3]d+10 \vert d^3 + 1000 - 900 = d^3 + 100[/tex3]
[tex3]90-10 = 80[/tex3]
então
[tex3]n = 80[/tex3] funciona
porque [tex3]80^3 = 512000[/tex3]
e [tex3]90 \vert 512100[/tex3] já que [tex3]512100 = 90 \cdot 5690[/tex3]
Pois todos divisores de 900 (menos 10) satisfazem: [tex3]d +10 \vert d^3 + 1000[/tex3] e [tex3]d+10 |900[/tex3]
então [tex3]d+10 \vert d^3 + 1000 - 900 = d^3 + 100[/tex3]
[tex3]90-10 = 80[/tex3]
então
[tex3]n = 80[/tex3] funciona
porque [tex3]80^3 = 512000[/tex3]
e [tex3]90 \vert 512100[/tex3] já que [tex3]512100 = 90 \cdot 5690[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 12 Jan, 2019 16:03). Total de 1 vez.
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