OlimpíadasSeleção ConeSul Brasil - Geometria Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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GabrielOBM
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Seleção ConeSul Brasil - Geometria

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Um triângulo equilátero RST está inscrito em uma circunferência A, e possuí incírculo W. Os pontos P e Q são escolhidos sobre RS, RT, respectivamente tais que PQ é tangente a W.
A circunferência B possuí centro P e passa por S, e C a circunferência que tem centro Q e passa por T. Prove que A,B,C tem um ponto em comum.

Última edição: GabrielOBM (Ter 08 Jan, 2019 20:49). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Seleção ConeSul Brasil - Geometria

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parece falso
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Re: Seleção ConeSul Brasil - Geometria

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Desculpa, troquei dois pontos. Já corrigi, caso apareca algo estranho, consulte o site de treinamento da ConeSul. A prova está lá, é o teste de 2018, o primeiro.



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Seleção ConeSul Brasil - Geometria

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

conesul.png
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[tex3]G = RT \cap W[/tex3] , [tex3]Z = PQ \cap W[/tex3] , [tex3]D = A \cap B - \{S\}[/tex3] , [tex3]M=W \cap RS[/tex3] .
[tex3]O[/tex3] centro de [tex3]W[/tex3] ([tex3]F[/tex3] no desenho é a reflexão de [tex3]O[/tex3] em relação à [tex3]PQ[/tex3] )
O problema se resume a provar que [tex3]Z,O,D[/tex3] são alinhados.

A reta [tex3]S,O,G[/tex3] é perpendicular à [tex3]RT[/tex3] .
Deixe a semi-reta [tex3]ZO[/tex3] encontrar [tex3]B[/tex3] em [tex3]D'[/tex3] então [tex3]\Delta SGP \equiv \Delta PZD'[/tex3] por que são retângulos de mesmo cateto [tex3]PZ=PG[/tex3] e hipotenusa.
Então [tex3]ZD' = SG = 3ZO[/tex3] repare então que [tex3]OD' = 3ZO - OZ = 2OZ[/tex3] que é o raio de [tex3]A[/tex3] então [tex3]D'[/tex3] está tanto em [tex3]A[/tex3] como em [tex3]B[/tex3] portanto [tex3]D=D'[/tex3] e então [tex3]O,Z,D[/tex3] são alinhados.

Agora acabou, basta notar que [tex3]\Delta TMQ \equiv \Delta DZQ[/tex3] pois são retângulos de dois catetos iguais.
Então [tex3]QT = QD[/tex3] e então [tex3]D[/tex3] está em [tex3]C[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 09 Jan, 2019 17:06). Total de 1 vez.



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Re: Seleção ConeSul Brasil - Geometria

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Boa!!! Quanto tempo voce demorou pra perceber isso??



Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2019 09 19:57

Re: Seleção ConeSul Brasil - Geometria

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

eu demorei umas 3 horas, com o geogebra hehehe. Mas é pq eu sou lento, eu só pensei em usar [tex3]PG = PQ[/tex3] depois de muito tempo, quando deveria ter sido uma das primeiras coisas pra eu pensar, pra ir pra essas provas precisa de preparo!



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GabrielOBM
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Re: Seleção ConeSul Brasil - Geometria

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Ss, vou fazer essa prove final desse mês.... quantos anos vc tem??? E parabéns pela dedicação, e passa pra dar um molhada naquele problema de algebra, que tb postei, consegui achar uma bela solução.




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