Olimpíadas ⇒ Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
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08
19:08
Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
a) Prove que para [tex3]x\ge1[/tex3]
[tex3]x^3-5x^2+8x-4\ge 0[/tex3] .
b) Sendo [tex3]a,b \ge1[/tex3] . Ache o valor mínimo da expressão:
[tex3]ab(a+b-10)+8(a+b)[/tex3] , e as duplas (a,b), onde isso ocorre.
, temos que:[tex3]x^3-5x^2+8x-4\ge 0[/tex3] .
b) Sendo [tex3]a,b \ge1[/tex3] . Ache o valor mínimo da expressão:
[tex3]ab(a+b-10)+8(a+b)[/tex3] , e as duplas (a,b), onde isso ocorre.
Última edição: GabrielOBM (Ter 08 Jan, 2019 20:31). Total de 2 vezes.
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Jan 2019
08
19:35
Re: Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
a) eu acho que é mentira
testando x=1, percebe-se que é raiz, briot rufffini
x=2(raiz dupla)
logo: [tex3]x^3-5x^2+8x-4=(x-2)^2(x-1)[/tex3]
agora é analisar [tex3](x-2)^2(x-1)\geq0[/tex3]
plotando, percebe-se que para 0<x<1 teremos f(x)<0
deveria ser [tex3]x\geq1[/tex3]
testando x=1, percebe-se que é raiz, briot rufffini
x=2(raiz dupla)
logo: [tex3]x^3-5x^2+8x-4=(x-2)^2(x-1)[/tex3]
agora é analisar [tex3](x-2)^2(x-1)\geq0[/tex3]
plotando, percebe-se que para 0<x<1 teremos f(x)<0
deveria ser [tex3]x\geq1[/tex3]
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Jan 2019
08
19:39
Re: Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
Descula é x maior igual a 1. Eu n tinha o sinal e pensei de relance que x>o prencuia, esqueci que x é real, sorry. Correção: x é maior igual a 1
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08
19:42
Re: Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
sem problemas
pra b) eu pensei em algo relacionado a f(x,y) e fui procurar sobre, mas não sei mt sobre cálculo pra resolver por esse meio, que talvez seja até mais difícil e provavelmente não seria o intuito da questão, fico no aguardo de uma resolução pra b)
pra b) eu pensei em algo relacionado a f(x,y) e fui procurar sobre, mas não sei mt sobre cálculo pra resolver por esse meio, que talvez seja até mais difícil e provavelmente não seria o intuito da questão, fico no aguardo de uma resolução pra b)
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Jan 2019
08
20:30
Re: Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
Olha, fiquei muito feliz com a minha ideia e fiz [tex3]a+b\ge2\sqrt{ab}[/tex3]
Teremos então [tex3]x^2(2x-10)+16x=2x^3-10x^2+16x (*)[/tex3] e como provamos no item anterior temos [tex3](*)\ge8[/tex3] , e como soluções teremos x=1 e x=2, ou seja, [tex3]\sqrt{ab}=1 ou2 => ab=2ou4[/tex3] , e como supomos a desigualdade entre médias anteriormente, obtendo a igualdede quando [tex3]a=b[/tex3] gerando os pares [tex3](1,1),(2,2)[/tex3] .
, e temos: [tex3]ab(a+b-10) +8(a+b)\ge ab(2\sqrt{ab}-10)+8(2\sqrt{ab})[/tex3]
transformando [tex3]\sqrt{ab}=x[/tex3]
.Teremos então [tex3]x^2(2x-10)+16x=2x^3-10x^2+16x (*)[/tex3] e como provamos no item anterior temos [tex3](*)\ge8[/tex3] , e como soluções teremos x=1 e x=2, ou seja, [tex3]\sqrt{ab}=1 ou2 => ab=2ou4[/tex3] , e como supomos a desigualdade entre médias anteriormente, obtendo a igualdede quando [tex3]a=b[/tex3] gerando os pares [tex3](1,1),(2,2)[/tex3] .
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Jan 2019
08
22:36
Re: Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
Realmente, boa!!! Eu praticamente não uso essa propriedade de M.A>M.G pois as questões que eu faço acabam que não necessita e acabei esquecendo dela aqui que facilitou bastante
Última edição: snooplammer (Ter 08 Jan, 2019 22:50). Total de 1 vez.
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08
22:48
Re: Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
Dá uma olhadinha naquele problema de Álgebra/Teoria dos Números, fala como vc faz.
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