OlimpíadasSeleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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GabrielOBM
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Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM »

a) Prove que se m,n são inteiros positivos, e p um racional positivo, se [tex3]\sqrt {m}-\sqrt {n}= p[/tex3] , então m e n são quadrados perfeitos.
b)Ache todas as quádruplas tais que:
[tex3]\sqrt {\overline{ABCD}} - \sqrt{\overline{ACD}}=\overline{BB}[/tex3] .
Aonde [tex3]\overline{XYZ}[/tex3] , com X=1, Y=2, Z=3 equivale a 123.




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

[tex3]m-n = (\sqrt m - \sqrt n)(\sqrt m + \sqrt n) \iff \sqrt m + \sqrt n = \frac{m-n}p = q [/tex3]
obviamente [tex3]q[/tex3] é racional então
[tex3]\sqrt m = \frac{p+q}2[/tex3] é racional. Se [tex3]\sqrt m [/tex3] é um racional [tex3]r[/tex3] então [tex3]r^2 = m[/tex3]
como [tex3]r = \frac ab[/tex3] com [tex3]\MDC(a,b)=1[/tex3] então temos [tex3]a^2 = m b^2[/tex3] então [tex3]b^2 |a^2 \iff b |a \iff r[/tex3] é inteiro.

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 08 Jan, 2019 20:59). Total de 1 vez.



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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Não entendi aonde você chegou, não provou que m e n são quadrados perfeitos, nem passos que você deu.
Eu fiz uma prova assim:
[tex3]\sqrt{m}-\sqrt{n}=p =>2 \sqrt{mn}=m+n-p^2[/tex3] . Como o lado esquerdo e racional, temos que [tex3]mn=x^2=>m=y^{k+2n} , n=y^k[/tex3] temos então que [tex3]2y^{k+n}=y^{k+2n}+y^k-p^2[/tex3] . Portanto [tex3]p=\sqrt{y^k(y^{2n}-2y^n+1)} =(y^n-1)\sqrt{y^k}[/tex3] e como p é racional [tex3]k= 2l[/tex3] . Substituindo nos valores de m,n notamos que devem ser quadrados perfeitos.



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

nada impede que [tex3]y[/tex3] seja irracional na sua resposta



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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Verdadee :?. Mlsssss



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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM »

E o item b? Eu comecei que [tex3]x[/tex3] é congruente a [tex3]-y[/tex3] mod 100
Última edição: GabrielOBM (Ter 08 Jan, 2019 22:23). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

o item b
você usa o item A, porque você cai exatamente no caso que [tex3]\sqrt m -\sqrt n[/tex3] é racional
(Se você considerar que [tex3]m = ABCD[/tex3] e [tex3]n = ACD[/tex3] então [tex3]\sqrt m -\sqrt n = BB[/tex3] que é racional)
dai você tira que [tex3]ABCD[/tex3] é quadrado perfeito e [tex3]ACD[/tex3] também.

Olha de resto não tenho muita ideia:
Como dá pra contar os quadrados perfeitos de [tex3]3[/tex3] dígitos imagino que a pergunta seja resolvível na força bruta, analisar todas as possibilidades de ABCD:

Vamos ver as possibilidades pra [tex3]ACD:[/tex3]
[tex3]100 \leq a^2 \leq 999 \iff 10 \leq a \leq 31[/tex3]
Olhe pra esses [tex3]22[/tex3] quadrados perfeitos e teste cada um deles.
Alguém deve ter uma saída melhor pra essa letra, mas a letra a eu acho que eu fiz certo. Você entendeu a fatoração [tex3](m-n) = (\sqrt m +\sqrt n)(\sqrt m -\sqrt n)[/tex3] ?



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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Sim, sim. Minha solução tem um jeito de reparar, ou, vc poderia dar outra solução?



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

acho que a solução que eu dei é a correta, não conheço outra se quiser perguntar o que você não entendeu dela sinta-se livre



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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM »

Olha, primeiramente, pensei sobre minha solução do a), e por hipótese, [tex3]n[/tex3] é inteiro, então [tex3]y^k[/tex3] é inteiro. Poertanto com [tex3]k=2l[/tex3] , provamos que n é quadrado perfeito, consequentemente m também.
E no item b) listei todos os casos, tendo como única soluça [tex3]\sqrt{1296}-\sqrt{196}=36-14=22[/tex3] .




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