Olimpíadas

Encontre tos os números N de três digitos em representação decimal, tais que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos dígitos de N.

Sendo a,b,c os dígitos de N, temos que: [tex3]100a+10b+c = 11a^2+11b^2+11c^2 [/tex3]

Mas obviamente [tex3]11b^2+11c^2 > 10b+c[/tex3] , isso implica que [tex3]100a > 11a^2\rightarrow a\in \{1,2,3,4,5\}[/tex3]

Pelo critério de divisibilidade por 11, temos que: [tex3]a+c-b \in \{0,11\} [/tex3]

No primeiro caso [tex3]a+c-b=0 [/tex3] , temos que:

[tex3]100a+10(a+c)+c = 11a^2+11(a+c)^2+11c^2[/tex3]
[tex3]10a+c = 2\cdot (a^2+ac+c^2)[/tex3]

Disso sai que c é par, testa-se os casos 0,2,4,6,8 e vê-se que a única solução é [tex3]\begin{cases}
a=5 \\
b=5 \\
c=0
\end{cases}[/tex3]

Outra opção: [tex3]a+c-b =11 [/tex3]

Se [tex3]a = 1 [/tex3] :

[tex3]100+10b+c = 11+11b^2+11c^2 [/tex3]
[tex3]100+10b+(10+b) = 11+11b^2+11(10+b)^2 [/tex3]
Sem solução.

Se [tex3]a = 2 [/tex3] :

[tex3]200+10b+c = 44+11b^2+11c^2 [/tex3]
[tex3]200+10b+(9+b) = 44+11b^2+11(9+b)^2 [/tex3]
Sem solução.

Se [tex3]a = 3 [/tex3] :

[tex3]300+10b+c = 99+11b^2+11c^2 [/tex3]
[tex3]300+10b+(8+b) = 99+11b^2+11(8+b)^2 [/tex3]
Sem solução.

Se [tex3]a = 4 [/tex3] :

[tex3]400+10b+c = 176+11b^2+11c^2 [/tex3]
[tex3]400+10b+(7+b) = 176+11b^2+11(7+b)^2 [/tex3]
Sem solução.

Se [tex3]a = 5 [/tex3] :

[tex3]500+10b+c = 275+11b^2+11c^2 [/tex3]
[tex3]500+10b+(6+b) = 275+11b^2+11(6+b)^2 [/tex3]
Sem solução.

Então o único número que atende ao enunciado é [tex3]\boxed {550} [/tex3]

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