Olimpíadas ⇒ São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 48
- Registrado em: Dom 11 Nov, 2018 18:19
- Última visita: 12-08-21
Dez 2018
16
22:40
São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
Seja ABC um triângulo tal que m(BAC)=60°. Seja também O um ponto no interior de ABC para o qual m(AOB)=m(BOC)=120°. Se D, E são pontos médios dos lados AB, AC, respectivamente, prove A, D, E O são concíclicos.
-
- Última visita: 31-12-69
Dez 2018
17
06:09
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
[tex3]O[/tex3]
[tex3]\Delta ABO \sim \Delta CAO[/tex3]
de onde
[tex3]\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{AO}[/tex3]
note que
[tex3]\angle ABO = \angle OAC[/tex3] (pura soma dos ângulos)
mas então
[tex3]\Delta BOD \sim \Delta AOE[/tex3]
por [tex3]LAL[/tex3] :
[tex3]\frac{BD}{AE} = \frac{BO}{AO}[/tex3] e [tex3]\angle DBO = \angle OAE[/tex3]
então
[tex3]\angle ODA = 180 - \angle OAE[/tex3] e então o quadrilátero é cíclico
é obviamente o ponto de Fermat de [tex3]\Delta ABC[/tex3]
então note que[tex3]\Delta ABO \sim \Delta CAO[/tex3]
de onde
[tex3]\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{AO}[/tex3]
note que
[tex3]\angle ABO = \angle OAC[/tex3] (pura soma dos ângulos)
mas então
[tex3]\Delta BOD \sim \Delta AOE[/tex3]
por [tex3]LAL[/tex3] :
[tex3]\frac{BD}{AE} = \frac{BO}{AO}[/tex3] e [tex3]\angle DBO = \angle OAE[/tex3]
então
[tex3]\angle ODA = 180 - \angle OAE[/tex3] e então o quadrilátero é cíclico
Dez 2018
17
07:27
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
sousóeu,
Poderia demonstrar a semelhança de ABO e CAO?
Temos o angulo de 120o e o outro?
Poderia demonstrar a semelhança de ABO e CAO?
Temos o angulo de 120o e o outro?
-
- Última visita: 31-12-69
Dez 2018
17
10:09
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
[tex3]\angle ABO +\angle BOA + \angle OAB =180 \iff \angle ABO + \angle BAO =60 \iff \angle OBA = \angle OAC[/tex3]
como [tex3]\angle COA = \angle AOB =120 [/tex3]
Então são semelhantes
como [tex3]\angle COA = \angle AOB =120 [/tex3]
Então são semelhantes
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Seg 17 Dez, 2018 10:10). Total de 1 vez.
-
- Última visita: 31-12-69
Abr 2020
20
08:11
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
Houve um erro de digitação o correto é [tex3]\angle ODA = 180^{\degree} - \angle OEA[/tex3] .Auto Excluído (ID:12031) escreveu: ↑Seg 17 Dez, 2018 06:09[tex3]\angle ODA = 180 - \angle OAE[/tex3] e então o quadrilátero é cíclico
O resto do raciocínio está correto.
A semelhança por L-A-L nos triângulos citados ocorrem nos vértices [tex3]B[/tex3] e [tex3]A[/tex3] .
Abr 2020
20
10:56
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
RenetGuenon,
Poderia demonstrar a semelhança de BOD e AOE?
Poderia demonstrar a semelhança de BOD e AOE?
-
- Última visita: 31-12-69
Abr 2020
20
10:58
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
a demonstração é essa.Auto Excluído (ID:12031) escreveu: ↑Seg 17 Dez, 2018 06:09
[tex3]\Delta BOD \sim \Delta AOE[/tex3]
por [tex3]LAL[/tex3] :
[tex3]\frac{BD}{AE} = \frac{BO}{AO}[/tex3] e [tex3]\angle DBO = \angle OAE[/tex3]
A igualdade [tex3]\frac{BD}{AE} = \frac{BO}{AO}[/tex3] vem da primeira semelhança da resposta antiga.
[tex3]\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{AO}[/tex3]
Deixando mais claro o LAL:
[tex3]\frac{BD}{BO} = \frac{AE}{AO}[/tex3] e [tex3]\angle ABO = \angle OAE[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:24303) (Seg 20 Abr, 2020 11:18). Total de 2 vezes.
Abr 2020
20
11:44
Re: São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
É isso ai. Complementando a demonstração do Ângulo:
[tex3]\mathsf{O\hat{B}A +B\hat{A}O = 180-120 = 60^o (I)\\
B\hat{A}O+O\hat{A}E=60^o(II)\\
O\hat{B}A +\cancel{B\hat{A}O} = \cancel{B\hat{A}O}+O\hat{A}E\Rightarrow \boxed{\color{red}O\hat{B}A=O\hat{A}E}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{O\hat{B}A +B\hat{A}O = 180-120 = 60^o (I)\\
B\hat{A}O+O\hat{A}E=60^o(II)\\
O\hat{B}A +\cancel{B\hat{A}O} = \cancel{B\hat{A}O}+O\hat{A}E\Rightarrow \boxed{\color{red}O\hat{B}A=O\hat{A}E}}[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 497 Exibições
-
Última msg por jvmago
-
- 6 Respostas
- 1119 Exibições
-
Última msg por Babi123
-
- 1 Respostas
- 1085 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 1002 Exibições
-
Última msg por lmsodre
-
- 7 Respostas
- 6677 Exibições
-
Última msg por jaquecusto