Resposta
[tex3]\frac{3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)}{4}[/tex3]
Moderador: [ Moderadores TTB ]
LOOOOOOOOOOL geometria analítica me dá mó medão mas, a sacada foi ótima!! ja estava postando aqui!!! Outro detalhe é que eu, um animal, escrevi o gabarito erradoAndreBRasera escreveu: ↑Seg 03 Dez, 2018 20:10E aí, parceiro, bão?
Dá pra resolver por geometria analítica:
O baricentro é definido como a média aritmética dos pontos que definem o polígono. No caso no triângulo,
[tex3]G = \left ( \frac{x_A + x_B + x_C}{3} , \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right )[/tex3]
Sendo cada uma dessas variáveis as coordenadas dos pontos do triângulo. Pra podermos provar o que o enunciado pede, vou escolher o caso mais simples:
Imagem2.png
O ponto A é definido por [tex3]\left ( 0, y_A \right )[/tex3] , o ponto B é definido por [tex3]\left ( 0 ,0 \right )[/tex3] e o ponto C é definido por [tex3]\left ( x_C, 0 \right )[/tex3] .
Daí, [tex3]AB = y_A[/tex3] , [tex3]BC = x_C[/tex3] , [tex3]AC = \sqrt{x_C^2 + y_A^2}[/tex3]
A partir disso, [tex3]G = \left ( \frac{x_C}{3} , \frac{y_A}{3} \right )[/tex3]
Temos, então, que [tex3]AB^2 + BC^2 + AC^2 = 2y_A^2 + 2x_C^2[/tex3]
Imagem3.png
Logo, [tex3]\begin{cases}
(x_C - x_G)^2 + y_G^2 = m_C^2 \\
x_G^2 + y_G^2 = m_B^2 \\
x_G^2 + (y_A - y_G)^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\left ( x_C - \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_C^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_B^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( y_A - \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\frac{4x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_C^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_B^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{4y_A^2}{9} = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Somemos tudo mundo então:
[tex3]\begin{cases}
\frac{6x_C^2}{9} + \frac{6y_A^2}{9} = m_C^2 + m_B^2 + m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Multipliquemos todo mundo por [tex3]3[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
2x_C + 2y_A^2 = 3 \left ( m_C^2 + m_B^2 + m_A^2 \right )
\end{cases}[/tex3]
Pqp, deu ruim uahauhauhau.
Devo ter errado a conta, mas eu acho que o raciocínio é válido hauhauha.