OlimpíadasGeometria - Problema 2 Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Nov 2018 30 21:55

Geometria - Problema 2

Mensagem não lida por jvmago »

Em um quadrado [tex3]ABCD[/tex3] inscreve-se uma circunferência de centro [tex3]O[/tex3] cujos pontos de tangencia [tex3]E,F,G,H[/tex3] estão nos lados [tex3]AB,BC,CD,AD[/tex3] . Marca-se um ponto [tex3]P[/tex3] sobre o comprimento do arco menor [tex3]FG[/tex3] . Sabendo-se que [tex3]PD^2-PB^2=2[/tex3] determine [tex3]PH^2-PE^2[/tex3]
Resposta

R:1



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Avatar do usuário
Autor do Tópico
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Dez 2018 01 11:56

Re: Geometria - Problema 2

Mensagem não lida por jvmago »

geogebra-export (4).png
geogebra-export (4).png (78.64 KiB) Exibido 1498 vezes



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Dez 2018 01 17:46

Re: Geometria - Problema 2

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

contas por contas eu faço por analítica hehehe

origem do sistema no centro do quadrado, eixo x paralelo à AD crescendo pra direita, eixo y paralelo à AB crescendo para cima.

[tex3]A = (-a,-a)[/tex3]
[tex3]B = (-a,a)[/tex3]
[tex3]C = (a,a)[/tex3]
[tex3]D = (a,-a)[/tex3]
[tex3]E = (-a,0)[/tex3]
[tex3]H = (0,-a)[/tex3]
[tex3]P = (x,y)[/tex3] com [tex3]x^2 + y^2 = a^2[/tex3]
[tex3]PD^2 - PB^2 =(x-a)^2 + (y+a)^2 -(x+a)^2 - (y-a)^2 = -4xa +4ya = 4a(y-x) = 2[/tex3]
[tex3]PH^2 - PE^2 = x^2 + (y+a)^2 - (x+a)^2 - y^2 = -a^2-2ax + 2ay + a^2 = 2a(y-x) = \frac 22 =1[/tex3]

o ponto P podia estar em qualquer quadrante, e me parece que nem na circunferência precisava estar!!!
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 01 Dez, 2018 17:48). Total de 2 vezes.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Dez 2018 02 12:16

Re: Geometria - Problema 2

Mensagem não lida por jvmago »

Trace [tex3]PA[/tex3] e você vai percerber que [tex3]PE[/tex3] e [tex3]PH[/tex3] serão medianas dos [tex3]\Delta BPA[/tex3] e [tex3]\Delta APD[/tex3] respectivamente então pelo teorema da mediana:

[tex3]4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2[/tex3]
[tex3]4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2[/tex3] (1)

[tex3]4PH^2=2PD^2+2PA^2-l^2[/tex3] (2)

Fazendo (1)-(2)
[tex3]4(PE^2-PH^2)=2(BP^2-PD^2)[/tex3]
[tex3]PE^2-PH^2=\frac{BP^2-PD^2}{2}[/tex3]



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de IME / ITA para Olimpíadas em Seg 03 Dez, 2018 15:43 por ALDRIN

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Olimpíadas”