Resposta
[tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Terror de Plana Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2018
24
15:50
Terror de Plana
Marca-se, arbitrariamente, um ponto [tex3]P[/tex3]
, não sendo equivalente a nenhum ponto notável, no interior de um [tex3]\Delta ABC[/tex3]
equilátero. A partir de [tex3]P[/tex3]
traçam-se as perpendiculares [tex3]PE,PD,PF[/tex3]
relativas aos lados [tex3]AC,BC,AB[/tex3]
. Determine o valor da expressão:[tex3]\frac{PF+PD+PE}{BD+CE+AF}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]
Última edição: jvmago (Sáb 24 Nov, 2018 15:52). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2018
24
16:05
Re: Terror de Plana
To pelo celular agora. O numerador já é bem bizurado, pelo teorema de Viviani vale LV3/2. A demonstração é bem simples, basta somar as áreas dos triângulos menores e igualar á area de ABC.
O denominador também é bizurado, vale 3L/2.
Vou colocar uma imagem pra ajudar. Demonstra os 2 teoremas pra nós.
O denominador também é bizurado, vale 3L/2.
Vou colocar uma imagem pra ajudar. Demonstra os 2 teoremas pra nós.
- 20181124_140654.png (245.34 KiB) Exibido 1394 vezes
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Nov 2018
24
16:09
Re: Terror de Plana
Desconhecia esse teorema!! Tinha provado por retas paralelas aos lados que se intersectam em [tex3]P[/tex3] meu problema está sendo esse numerador nojento!Ittalo25 escreveu: ↑Sáb 24 Nov, 2018 16:05To pelo celular agora. O numerador já é bem bizurado, pelo teorema de Viviani vale LV3/2. A demonstração é bem simples, basta somar as áreas dos triângulos menores e igualar á area de ABC.
O denominador também é bizurado, vale 3L/2.
Vou colocar uma imagem pra ajudar. Demonstra os 2 teoremas pra nós.
20181124_140654.png
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2018
25
09:49
Re: Terror de Plana
- geogebra-export (1).png (84.07 KiB) Exibido 1361 vezes
Traçando 3 paralelas aos lados a partir de [tex3]P[/tex3] Obtemos 3 triangulos equiláteros: [tex3]\Delta MNP[/tex3] , [tex3]\Delta PKJ[/tex3] e [tex3]\Delta PGH[/tex3] .
Pelas paralelas conclui-se que a soma dos lados desses três triangulos é igual ao próprio lado do [tex3]\Delta ABC[/tex3] portanto:
A soma de suas alturas será a altura do triangulo ABC ou seja [tex3]PF+PD+PE=\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Pelo teorema super brabo que o Ittalo passou, [tex3]BD+CE+AF=\frac{3l}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{PF+PD+PE}{BD+CE+AF}=\frac{\frac{l\sqrt{3}}{2}}{\frac{3l}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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