Olimpíadas ⇒ Quadrado Perfeito

[GabrielOBMEP]

Prove que, para n natural,
se 2+2(28n^2+1)^(1/2) é inteiro, então é um quadrado perfeito

[AndreBRasera]

Como é exatamente o enunciado?

Seria [tex3]2+\sqrt{2\left(28n^2+1\right)}[/tex3]

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[tex3]2+\sqrt{2\left(28n^2+1\right)}[/tex3]

?

Ou [tex3]2+2\sqrt{\left(28n^2+1\right)}[/tex3]

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[tex3]2+2\sqrt{\left(28n^2+1\right)}[/tex3]

?

[LucasOBM]

Acredito que seja a segunda opção, Andre.

[GabrielOBM]

Primeiramente teremos:
[tex3]28 n^2 +1 = k^2[/tex3]

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[tex3]28 n^2 +1 = k^2[/tex3]

=> [tex3]28n^2=(k+1)(k-1) [/tex3]

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[tex3]28n^2=(k+1)(k-1) [/tex3]

=> [tex3]7n^2 =( \frac {k+1}{2})(\frac{k-1}{2})[/tex3]

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[tex3]7n^2 =( \frac {k+1}{2})(\frac{k-1}{2})[/tex3]

, então teremos duas opções, uma, 7|k+1 ou 7|k-1.
No primeiro caso: [tex3]n^2=(\frac{k+1}{14})(\frac{k-1}{2})[/tex3]

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[tex3]n^2=(\frac{k+1}{14})(\frac{k-1}{2})[/tex3]

, e como 7 é primo, e mdc [tex3]MDC( \frac {k+1}{2},\frac{k-1}{2})=1[/tex3]

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[tex3]MDC( \frac {k+1}{2},\frac{k-1}{2})=1[/tex3]

, teremos [tex3]\frac{k+1}{14}=r^2[/tex3]

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[tex3]\frac{k+1}{14}=r^2[/tex3]

e [tex3]\frac{k-1}{2}=s^2[/tex3]

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[tex3]\frac{k-1}{2}=s^2[/tex3]

, temos então que,[tex3]7r^2-s^2=1[/tex3]

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[tex3]7r^2-s^2=1[/tex3]

, que implica [tex3]b^2[/tex3]

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[tex3]b^2[/tex3]

congruente a -1(mod7), um absurdo!!
Agora fazendo analogamente para o segundo caso, teremos [tex3]a^2=\frac {k+1}{2}[/tex3]

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[tex3]a^2=\frac {k+1}{2}[/tex3]

e [tex3]b^2=\frac{k-1}{14}[/tex3]

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[tex3]b^2=\frac{k-1}{14}[/tex3]

. Logo [tex3]k=2a^2-1[/tex3]

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[tex3]k=2a^2-1[/tex3]

, o que finaliza, pois [tex3]2+2\sqrt{28n^2+1}=2+2(2a^2-1)=4a^2=(2a)^2[/tex3]

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[tex3]2+2\sqrt{28n^2+1}=2+2(2a^2-1)=4a^2=(2a)^2[/tex3]

. c.q.d.