Olimpíadas ⇒ OBM-2018 Questão 5 N2 Tópico resolvido

[GabrielOBM]

4- a)Num triangulo XYZ, o incírculo tangencia os lados XY e XZ nos pontos T e W, respectivamente. Prove que:
XT=XW=(XY+XZ-YZ)/2

Seja ABC um triângulo e D o pé da altura relativa ao lado A. Sejam I, J os incentros dos triângulos ABD e ACD, respectivamente. Os incírculos de ABD e ACD tangenciam AD nos pontos M e N, respectivamente. Seja P o ponto de tangência do incírculo inscrito de ABC com o lado de AB. O círculo de centro A e raio AP intersecta a altura AD em K.
b)Mostre que os triângulos IMK e KNJ são congruentes.
c)Mostre que o quadrilátero IDJK é incritível.

[Auto Excluído (ID:12031)]

vou usar o resultado que você descreveu antes do problema, mas sem prová-lo (a prova que XT = XW = (XY+XZ-YZ)/2 está aqui por exemplo, mas em qualquer lugar da internet que você procure você encontra uma prova disso)

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repare que [tex3]IFDM[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]IFDM[/tex3]

é quadrado pois [tex3]IF = IM = r_1[/tex3]

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[tex3]IF = IM = r_1[/tex3]

e [tex3]\angle IFD = \angle IMD = \angle MDF = 90[/tex3]

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[tex3]\angle IFD = \angle IMD = \angle MDF = 90[/tex3]

[tex3]MD = r_1 = \frac{BD + AD - AB}2[/tex3]

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[tex3]MD = r_1 = \frac{BD + AD - AB}2[/tex3]

como
[tex3]AK = AP = \frac{AB + AC - BC}2[/tex3]

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[tex3]AK = AP = \frac{AB + AC - BC}2[/tex3]

temos que
[tex3]KM = AD - MD - AK = AD + \frac{AB + BC - AB - AC - BD -AD}2 = \frac{AD
+BC-AC - BD}2 = \frac{AD -AC + CD}2 = r_2[/tex3]

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[tex3]KM = AD - MD - AK = AD + \frac{AB + BC - AB - AC - BD -AD}2 = \frac{AD
+BC-AC - BD}2 = \frac{AD -AC + CD}2 = r_2[/tex3]

agora repare que analogamente:
[tex3]KN = AD - AK - ND = AD - AP - r_2 = \frac{AD + DB - AB}2 = r_1[/tex3]

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[tex3]KN = AD - AK - ND = AD - AP - r_2 = \frac{AD + DB - AB}2 = r_1[/tex3]

então os triângulos KIM e KJN são retângulos e têm os mesmos catetos, portanto são congruentes.

a letra C é consequência do resultado anterior: [tex3]\angle IKJ = \angle IKD + \angle DKJ = 90 = \angle IDJ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle IKJ = \angle IKD + \angle DKJ = 90 = \angle IDJ[/tex3]

logo o quadrilátero é inscritível!