1- Um cubo n×n×n é formado por n^3 cubinhos unitários e tem, inicialmente, um cubinho vermelho em somente um de seus vértices. Numeramos esse cubinho com o número 1. A cada dia a partir do dia 2, os cubinhos vizinhos (cubinhos com faces em comum) a cubinhos vermelhos também ficam vermelhos e são numerados com o número do dia.
a)"Na figura a seguir"(não consigo por kkk) temos as quatro camadas do cubo 4×4×4 e os cubos numerados de 1 e 2(pode-se olhar no site obm, prova já está disponível). Preencha-o.
b)Em um cubo 10×10×10, quantos cubinhos são numerados com 7? E quantos são com 13?
c)Em um cubo 2018×2018×2018, qual o número que aparece mais vezes na numeração dos cubinhos?(pode haver mais de 1, liste todos)
Olimpíadas ⇒ OBM-2018 Questão 1 N2 - Contagem/Lógica Tópico resolvido
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GabrielOBM 
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Nov 2018
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19:06
OBM-2018 Questão 1 N2 - Contagem/Lógica
Última edição: GabrielOBM (Seg 19 Nov, 2018 06:27). Total de 1 vez.
Nov 2018
29
12:02
Re: OBM-2018 Questão 1 N2 - Contagem/Lógica
Consegui resolver, mas o desenvolvimento não foi trivial. Vou postá-lo mais tarde, quando estiver em casa.
Nov 2018
29
16:38
Re: OBM-2018 Questão 1 N2 - Contagem/Lógica
Abriu uma janela aqui e acho que consigo responder agora.
Bem, a primeira coisa que pensei foi em determinar o maior número utilizado para preencher os cubinhos. Intuitivamente, sabia que era o caminho.
Imagine o cubo [tex3]n^3[/tex3] apoiado em uma superfície horizontal. Chamemos de camada 1 a face voltada para cima. A partir daí, temos as camadas 2, 3, 4... até a camada [tex3]n[/tex3] , que é a que toca a superfície. Todos os cubinhos estão numerados.
Na camada 1, repare que números iguais ficam em uma mesma transversal. Logo, para saber a quantidade de números dessa face, basta contar a quantidade de transversais.
No entanto, o processo de preenchimento não acaba aí, visto que os cubinhos de camadas inferiores ainda não estão totalmente preenchidos, vide o exemplo do cubo 2x2x2, onde o número 4 não aparece na camada 1.
Veja que, a partir desse momento, poderemos ver os números seguintes na coluna do último cubinho preenchido da camada 1.
Assim, rapidamente percebe-se que a quantidade total de números distintos em um cubo [tex3]n^3[/tex3] é igual a [tex3]3n-2[/tex3] .
Assim, no cubo [tex3]10^3[/tex3] , o maior número utilizado é o 28.
Se você começar a preencher o cubo [tex3]10^3[/tex3] , verá que, pelo menos inicialmente, a lógica é bem tranquila:
a) O número 1 é escrito em 1 cubo
b) O número 2 é escrito em 2+1 cubos
c) O número 3 é escrito em 3+2+1 cubos
Aqui já dá para responder a primeira pergunta.
Mas isso funciona apenas até o número [tex3]n[/tex3] . Depois disso, o algoritmo muda (precisei trabalhar com a soma de duas PAs). Vejamos o número 11, por exemplo.
O número 10, na etapa anterior, preencheu a maior diagonal da camada 1 (logo, preencheu cubos), mas, a partir daí, nessa camada, a quantidade de cubos a cada transversal subsequente, da mesma forma que aumentou até chegar na maior, começa a diminuir. No entanto, antes de diminuirmos a quantidade de cubos, como vinha acontecendo, ao descermos nas camadas subsequentes, primeiro a aumentamos até chegarmos na camada onde a maior diagonal também é preenchida. Só daí em diante é que o comportamento passa a ser o mesmo do início, ou seja, contagem regressiva até se chegar à última camada (que, por conta da contagem crescente inicial, não chegará em 1).
A melhor forma de perceber essas coisas é preenchendo o cubo (preenchi quase metade), coisa que deixarei para você, se for da sua vontade.
No fim das contas, eu montei a seguinte tabela (o que, apesar de poder não parecer, foi bem rápido, pois ela, depois de toda a análise, se tornou bem óbvia), que diz a quantidade de vezes que um determinado número aparece em uma determinada camada. Veja que a soma de números é igual a 1000, que equivale ao total de cubinhos do cubo.
Ela não é necessária para responder nenhuma das perguntas do problema, apenas a achei bonita.
Com isso, já temos a resposta de mais uma pergunta.
Eu disse que a tabela acima não é necessária para responder nenhuma das perguntas do problema, mas ela me ajudou a enxergar que os números que aparecem mais vezes na numeração dos cubinhos, no caso de um cubo onde [tex3]n[/tex3] é par, serão iguais a [tex3]\frac{3n-2}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{3n-2}{2}+1[/tex3] . Ou seja, no caso do cubo [tex3]10^3[/tex3] , estamos falando dos números 14 e 15. Isso acontece por conta da posição de [tex3]n[/tex3] nessas colunas.
Logo, no caso do cubo [tex3]2018^3[/tex3] , os números que mais se repetem são o 3026 e o 3027.
Quando [tex3]n[/tex3] for ímpar, será apenas o número [tex3]\lceil\frac{3n-2}{2}\rceil[/tex3] .
Bem, a primeira coisa que pensei foi em determinar o maior número utilizado para preencher os cubinhos. Intuitivamente, sabia que era o caminho.
Imagine o cubo [tex3]n^3[/tex3] apoiado em uma superfície horizontal. Chamemos de camada 1 a face voltada para cima. A partir daí, temos as camadas 2, 3, 4... até a camada [tex3]n[/tex3] , que é a que toca a superfície. Todos os cubinhos estão numerados.
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No entanto, o processo de preenchimento não acaba aí, visto que os cubinhos de camadas inferiores ainda não estão totalmente preenchidos, vide o exemplo do cubo 2x2x2, onde o número 4 não aparece na camada 1.
- imagem2.png (4 KiB) Exibido 2042 vezes
Assim, rapidamente percebe-se que a quantidade total de números distintos em um cubo [tex3]n^3[/tex3] é igual a [tex3]3n-2[/tex3] .
Assim, no cubo [tex3]10^3[/tex3] , o maior número utilizado é o 28.
Se você começar a preencher o cubo [tex3]10^3[/tex3] , verá que, pelo menos inicialmente, a lógica é bem tranquila:
a) O número 1 é escrito em 1 cubo
b) O número 2 é escrito em 2+1 cubos
c) O número 3 é escrito em 3+2+1 cubos
Aqui já dá para responder a primeira pergunta.
[tex3]7+6+5+4+3+2+1=28[/tex3]Em um cubo 10×10×10, quantos cubinhos são numerados com 7?
Mas isso funciona apenas até o número [tex3]n[/tex3] . Depois disso, o algoritmo muda (precisei trabalhar com a soma de duas PAs). Vejamos o número 11, por exemplo.
O número 10, na etapa anterior, preencheu a maior diagonal da camada 1 (logo, preencheu cubos), mas, a partir daí, nessa camada, a quantidade de cubos a cada transversal subsequente, da mesma forma que aumentou até chegar na maior, começa a diminuir. No entanto, antes de diminuirmos a quantidade de cubos, como vinha acontecendo, ao descermos nas camadas subsequentes, primeiro a aumentamos até chegarmos na camada onde a maior diagonal também é preenchida. Só daí em diante é que o comportamento passa a ser o mesmo do início, ou seja, contagem regressiva até se chegar à última camada (que, por conta da contagem crescente inicial, não chegará em 1).
A melhor forma de perceber essas coisas é preenchendo o cubo (preenchi quase metade), coisa que deixarei para você, se for da sua vontade.
No fim das contas, eu montei a seguinte tabela (o que, apesar de poder não parecer, foi bem rápido, pois ela, depois de toda a análise, se tornou bem óbvia), que diz a quantidade de vezes que um determinado número aparece em uma determinada camada. Veja que a soma de números é igual a 1000, que equivale ao total de cubinhos do cubo.
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Com isso, já temos a resposta de mais uma pergunta.
73E quantos são com 13?
Eu disse que a tabela acima não é necessária para responder nenhuma das perguntas do problema, mas ela me ajudou a enxergar que os números que aparecem mais vezes na numeração dos cubinhos, no caso de um cubo onde [tex3]n[/tex3] é par, serão iguais a [tex3]\frac{3n-2}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{3n-2}{2}+1[/tex3] . Ou seja, no caso do cubo [tex3]10^3[/tex3] , estamos falando dos números 14 e 15. Isso acontece por conta da posição de [tex3]n[/tex3] nessas colunas.
Logo, no caso do cubo [tex3]2018^3[/tex3] , os números que mais se repetem são o 3026 e o 3027.
Quando [tex3]n[/tex3] for ímpar, será apenas o número [tex3]\lceil\frac{3n-2}{2}\rceil[/tex3] .
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