Olimpíadas

Um quadrilátero ABCD tem círculo inscrito [tex3]\omega[/tex3] e é tal que as semirretas AB e CD se cortam no ponto P e as
semirretas AD e BC se cortam no ponto Q. As retas AC e PQ se cortam no ponto R. Seja T o ponto de [tex3]\omega[/tex3] mais
proximo da reta PQ. Prove que a reta RT passa pelo incentro do triângulo PQC.

Esse problema vem me torturando faz algum tempo, e não encontrei nada na Internet. Alguém poderia me ajudar?

tem a imagem em algum lugar?

Não, não achei em nenhum lugar. Tenho uma ideia de como é, posso ligar o PC e desenhar se você achar melhor.

por favor, mande um imagem, estou ocupado demais pra desenhar agora

: 15423200829161473272968.jpg (84.9 KiB) Exibido 2017 vezes

vou começar aqui:
note que existe uma homotetia centrada em [tex3]C[/tex3] que leva o círculo inscrito no quadrilátero ao incírculo de [tex3]PQC[/tex3]

como você mesmo reparou o ponto [tex3]T[/tex3] é tal que a reta tangente à ele é paralela à [tex3]PQ[/tex3] (se você quiser eu posso provar isso rigorosamente)

portanto a homotetia leva o ponto [tex3]T[/tex3] ao ponto [tex3]T'[/tex3] de tangência do incírculo de [tex3]PQC[/tex3] com [tex3]PQ[/tex3]

vou dar uma olhada a respeito do ponto R, parece ser um ponto notável em geometria projetiva, brb

Hum. Acabei de observar um probleminha: se invertermos o ponto A e o ponto C de posição, o triângulo PQC passa a ser outro...

mas o resultado provavelmente continua sendo verdade, os pontos PQ só iam trocar de posição um com o outro eu acho

Já tentei nomear alguns ângulos e fazer uns cálculos, mas não deu muito certo. Acredito que a geometria euclidiana dê um grau no problema, mas sei muito pouco hahaha

deu esquisito, olha só:

: obm2017.png (68.45 KiB) Exibido 1974 vezes

[tex3]A_1[/tex3] é centro do círculo inscrito, então a reta [tex3]CA_1[/tex3] é bissetriz de [tex3]CB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]

então o incentro de [tex3]PQC[/tex3] necessariamente está sobre a reta [tex3]CA_1[/tex3]

mas olha como essa bissetriz não encontra o segmento [tex3]RE[/tex3] (E nesse desenho seria o T: ponto mais próximo de PQ do círculo)

eu deveria ter postado a reta inteira, mas a reta [tex3]RE[/tex3] só encontra [tex3]CA_1[/tex3] fora do triângulo PQC

então acho que o problema está errado

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