Olimpíadas ⇒ Álgebra Tópico resolvido

[Hanon]

Resolva a equação [tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+...+\sqrt{4^nx+3}}}}-\sqrt{x}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+...+\sqrt{4^nx+3}}}}-\sqrt{x}=1[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]\sqrt{x+y}-\sqrt{x}=1 \rightarrow x+y=1+2\sqrt{x}+x \rightarrow y=1+2\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+y}-\sqrt{x}=1 \rightarrow x+y=1+2\sqrt{x}+x \rightarrow y=1+2\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{4x+\sqrt{16x+...+\sqrt{4^nx+3}}}-2\sqrt{x}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{4x+\sqrt{16x+...+\sqrt{4^nx+3}}}-2\sqrt{x}=1[/tex3]

[tex3]\sqrt{4x+y_2}-2\sqrt{x}=1 \rightarrow 4x+y_2=1+4\sqrt{x}+4x \rightarrow y_2=1+4\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{4x+y_2}-2\sqrt{x}=1 \rightarrow 4x+y_2=1+4\sqrt{x}+4x \rightarrow y_2=1+4\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{16x+\sqrt{64x+...+\sqrt{4^nx+3}}}-4\sqrt{x}=1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{16x+\sqrt{64x+...+\sqrt{4^nx+3}}}-4\sqrt{x}=1[/tex3]

[tex3]\sqrt{16x+y_3}-4\sqrt{x}=1 \rightarrow y_3=8\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{16x+y_3}-4\sqrt{x}=1 \rightarrow y_3=8\sqrt{x}+1[/tex3]

É fácil ver que [tex3]y_n=2^n\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]y_n=2^n\sqrt{x}+1[/tex3]

Note que [tex3]y_n=\sqrt{4^nx+3}=2^n\sqrt{x}+1 \rightarrow 4^nx+3=1+2^{n+1}\sqrt{x}+4^nx \rightarrow 2=2^{n+1}\sqrt{x} \rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2^n}[/tex3]

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[tex3]y_n=\sqrt{4^nx+3}=2^n\sqrt{x}+1 \rightarrow 4^nx+3=1+2^{n+1}\sqrt{x}+4^nx \rightarrow 2=2^{n+1}\sqrt{x} \rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2^n}[/tex3]

[tex3]\therefore x= \frac{1}{4^n}[/tex3]

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[tex3]\therefore x= \frac{1}{4^n}[/tex3]