é múltiplo de 𝑥. Qual é a quantidade máxima de elementos que 𝑋 pode ter?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Resposta
GABARITO: D
Olimpíadas ⇒ (OBM) Conjuntos
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Out 2018
13
08:35
(OBM) Conjuntos
O conjunto 𝑋 está contido em {1,2,3, … ,2016} e tem a seguinte propriedade: para todos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 com 𝑥 < 𝑦, 𝑦 + 1
é múltiplo de 𝑥. Qual é a quantidade máxima de elementos que 𝑋 pode ter?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
GABARITO: D
é múltiplo de 𝑥. Qual é a quantidade máxima de elementos que 𝑋 pode ter?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
GABARITO: D
Última edição: caju (Sáb 13 Out, 2018 10:59). Total de 2 vezes.
Razão: retirar caps lock do título.
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"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."
Out 2018
20
08:47
Re: (OBM) Conjuntos
Acredito que o gabarito esteja incorreto.
[tex3]y+1[/tex3] é múltiplo de todos os números menores que ele.
Repare que isso é possível apenas se [tex3]y+1[/tex3] for, com algumas exceções, o produto de uma multiplicação cujos fatores são todos esses números menores que ele.
Se queremos a quantidade máxima de elementos, devemos começar a partir do menor número possível, para que haja "mais espaço" para multiplicações. Portanto, nosso primeiro elemento é o 1.
O segundo elemento, 2. Poderia ser qualquer outro número [tex3]n[/tex3] maior que 1, pois, qualquer [tex3]n+1[/tex3] seria múltiplo, mas, novamente, a ideia é sempre escolher o menor número possível para que haja "mais espaço" para multiplicações.
O menor número múltiplo de 2 é 4. Logo, o terceiro elemento é [tex3]4-1=3[/tex3] .
Essas foram as exceções que mencionei mais acima. Agora é só ir calculando os próximos números conforme explicado e subtraindo um para encontrar os elementos.
Terceiro elemento: [tex3]2\cdot3-1=5[/tex3]
Quarto elemento: [tex3]2\cdot3\cdot5-1=29[/tex3]
Quinto elemento: [tex3]2\cdot3\cdot5\cdot29-1=869[/tex3]
Repare que a próxima multiplicação resultará em um número bem maior que 2016, não sendo, portanto, elemento de [tex3]X[/tex3] .
Se não há nada de errado no meu raciocínio e na minha conclusão, a resposta é a letra C.
[tex3]y+1[/tex3] é múltiplo de todos os números menores que ele.
Repare que isso é possível apenas se [tex3]y+1[/tex3] for, com algumas exceções, o produto de uma multiplicação cujos fatores são todos esses números menores que ele.
Se queremos a quantidade máxima de elementos, devemos começar a partir do menor número possível, para que haja "mais espaço" para multiplicações. Portanto, nosso primeiro elemento é o 1.
O segundo elemento, 2. Poderia ser qualquer outro número [tex3]n[/tex3] maior que 1, pois, qualquer [tex3]n+1[/tex3] seria múltiplo, mas, novamente, a ideia é sempre escolher o menor número possível para que haja "mais espaço" para multiplicações.
O menor número múltiplo de 2 é 4. Logo, o terceiro elemento é [tex3]4-1=3[/tex3] .
Essas foram as exceções que mencionei mais acima. Agora é só ir calculando os próximos números conforme explicado e subtraindo um para encontrar os elementos.
Terceiro elemento: [tex3]2\cdot3-1=5[/tex3]
Quarto elemento: [tex3]2\cdot3\cdot5-1=29[/tex3]
Quinto elemento: [tex3]2\cdot3\cdot5\cdot29-1=869[/tex3]
Repare que a próxima multiplicação resultará em um número bem maior que 2016, não sendo, portanto, elemento de [tex3]X[/tex3] .
Se não há nada de errado no meu raciocínio e na minha conclusão, a resposta é a letra C.
Última edição: csmarcelo (Sáb 20 Out, 2018 08:48). Total de 1 vez.
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