Olimpíada internacional de matemática

São dados um plano \pi , um ponto P que pertence a \pi , e um ponto Q que não pertence a \pi . Determine todos os pontos R do plano, tais que o quociente \frac{

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Autor do Tópico Baguncinha: Mensagens: 56; Registrado em: Qui 26 Jul, 2018 13:44; Última visita: 07-11-20; Localização: Califórnia

Set 2018 14 22:08

Olimpíada internacional de matemática

Mensagem não lidapor Baguncinha » Sex 14 Set, 2018 22:08

Mensagem não lida por Baguncinha » Sex 14 Set, 2018 22:08

São dados um plano [tex3]\pi [/tex3] , um ponto P que pertence a [tex3]\pi [/tex3] , e um ponto Q que não pertence a [tex3]\pi [/tex3] . Determine todos os pontos R do plano, tais que o quociente [tex3]\frac{(QP+PR)}{QR}[/tex3] seja máximo.

Baguncinha

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Considere o conjunto {4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, 243}. Determine o numero total de valores distintos que se pode obter multiplicando-se dois elementos distintos deste conjunto.

Última msg

valores distintos e multiplicando, parece uma boa ideia olhar para os fatores primos.
\{4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, 243\}=\{2^2, 2^3, 3^2, 2^4, 3^3, 2^5, 2^6, 3^4, 3^5\}
só temos os fatores primos...

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Mostre que para n\in\mathbb{N} , com n\ge 2 , \sum_{r=1}^{n}r\sqrt{\binom{n}{r}}<\sqrt{2^{n-1}n^3}.

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para n=2 :

\sqrt{n} + \sqrt{2n(n-1)} < \sqrt{2^{n-1} n^3}

\sqrt2 + 2 < \sqrt{2 \cdot 8} = 4 \iff \sqrt 2 < 2

vale!

Para n=3 :

\sqrt{n} + \sqrt{2n(n-1)} + \sqrt{\frac32 n(n-1)(n-2)} <...

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