Olimpíadas(OBMEP 2011) Função do 1º grau Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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danimedrado
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Set 2018 06 15:27

(OBMEP 2011) Função do 1º grau

Mensagem não lida por danimedrado »

Dois carros saíram juntos de Quixajuba pela estrada em direção a Paraqui. A velocidade do primeiro carro era 50 km/h e a do segundo carro era 40 km/h. Depois de 30 minutos um terceiro carro saiu de Quixajuba pela mesma estrada, também com velocidade constante, e alcançou o primeiro carro uma hora e meia depois de ultrapassar o segundo.
Qual era a velocidade do terceiro carro?
a. 30 km/h
b. 45 km/h
c. 60 km/h
d. 70 km/h
e. 75 km/h
Resposta

C
Alguém poderia me auxiliar nessa questão?




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csmarcelo
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Re: (OBMEP 2011) Função do 1º grau

Mensagem não lida por csmarcelo »

A função que determinada a posição do primeiro carro em função do tempo é dada por:

[tex3]f(x)=50x[/tex3]

A função que determinada a posição do segundo carro em função do tempo é dada por:

[tex3]g(x)=40x[/tex3]

A função que determinada a posição do terceiro carro em função do tempo é dada por:

[tex3]h(x)=a\(x-\frac{1}{2}\)[/tex3]

Quando o terceiro carro encontrar o segundo:

[tex3]a\(x_2-\frac{1}{2}\)=40x_2\rightarrow x_2=\frac{a}{2a-80}[/tex3]

Quando o terceiro carro encontrar o primeiro:

[tex3]a\(x_1-\frac{1}{2}\)=50x_1\rightarrow x_1=\frac{a}{2a-100}[/tex3]
...alcançou o primeiro carro uma hora e meia depois de ultrapassar o segundo.
[tex3]x_1-x_2=\frac{3}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{a}{2a-100}-\frac{a}{2a-80}=\frac{3}{2}\rightarrow 3x^2-280x+6000=0\rightarrow\begin{cases}\cancel{x_1=\frac{100}{3}}\\x_2=60\end{cases}[/tex3]

Como, para alcançar os carros que saíram na frente, o terceiro carro deve ser mais rápido que os primeiros, apenas a segunda raiz é válida.




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danimedrado
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Set 2018 10 10:33

Re: (OBMEP 2011) Função do 1º grau

Mensagem não lida por danimedrado »

csmarcelo, você poderia me explicar como [tex3]\frac{a}{2a-100}-\frac{a}{2a-80}=\frac{3}{2}[/tex3] ficou [tex3]3x^2-280x+6000=0[/tex3] ? Não consegui entender.



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csmarcelo
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Set 2018 10 13:00

Re: (OBMEP 2011) Função do 1º grau

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]\frac{a}{2a-100}-\frac{a}{2a-80}=\frac{3}{2}[/tex3]

Multiplicando ambos os lados por 2:

[tex3]\frac{a}{a-50}-\frac{a}{a-40}=3[/tex3]

Reduzindo as frações ao mesmo denominador:

[tex3]\frac{a(a-40)}{(a-50)(a-40)}-\frac{a(a-50)}{(a-50)(a-40)}=3[/tex3]

[tex3]\frac{a(a-40)-a(a-50)}{(a-50)(a-40)}=3[/tex3]

Daí,

[tex3]a(a-40)-a(a-50)=3(a-50)(a-40)[/tex3]

[tex3]a^2-40a-a^2+50a=3(a^2-90a+2000)[/tex3]

[tex3]a^2-40a-a^2+50a=3a^2-270a+6000[/tex3]

[tex3]\cancel{a^2}-40a\cancel{-a^2}+50a=3a^2-270a+6000[/tex3]

[tex3]-40a+50a=3a^2-270a+6000[/tex3]

[tex3]10a=3a^2-270a+6000[/tex3]

[tex3]3a^2-270a-10a+6000=0[/tex3]

[tex3]3a^2-280a+6000=0[/tex3]




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