Na figura, a circunferência 2 inscrita no quadrado ABCD e o arco BD de
centro A determinam a Lua de área S. Demostrar que S = S1 + S2 + S3.
Me dêem uma ajuda pf
Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Área Hachurada Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2018
19
12:10
Geometria Plana - Área Hachurada
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
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Ago 2018
19
15:39
Re: Geometria Plana - Área Hachurada
x+S_1+S_2+S_3=\frac{\pi R^{2}}{4} \\
x+S=\pi.(\frac{R}{2})^{2}
\end{cases}\rightarrow \boxed{S_1+S_2+S_3=S}[/tex3]
Acho que é isso Mago. Acabei de acordar, então posso estar nóia...
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
-Mahatma Gandhi
Ago 2018
19
20:36
Re: Geometria Plana - Área Hachurada
Brilhante MafIl10, !!!
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Ago 2018
19
20:38
Re: Geometria Plana - Área Hachurada
Aproveitar o embalo do post, supunhetando que o lado do quadrado seja 1, consegue enxergar alguma forma de achar a área dessa lua???
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Ago 2018
19
21:54
Re: Geometria Plana - Área Hachurada
A área dessa lua não me parece ser nada trivial
Vou considerar como 2 o lado do quadrado.
Por integral, considere um sistema de eixos centrados em A. A equação da circunferência é [tex3](x-1)^2+(y-1)^2=1[/tex3] . A parte de cima se torna [tex3]y=1+\sqrt{1-(x-1)^2}[/tex3]
Para o quarto de circunferência, temos [tex3]x^2+y^2=4 \rightarrow y=\sqrt{4-x^2}[/tex3]
O ponto E é tal que:
[tex3]1+\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{4-x^2} \rightarrow 1+2\sqrt{1-(x-1)^2}+1-x^2+2x-1=4-x^2[/tex3]
[tex3]2\sqrt{1-(x-1)^2}=3-2x \rightarrow 4(-x^2+2x)=9-12x+4x^2 \rightarrow x=\frac{5-\sqrt{7}}{4}[/tex3]
O ponto F é tal que:
[tex3]1-\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{4-x^2} \rightarrow ... \rightarrow x= \frac{5+\sqrt{7}}{4}[/tex3]
A área pedida pode ser interpreptada como:
[tex3]\int_{E_x}^{F_x}(1+\sqrt{1-(x-1)^2})-(\sqrt{4-x^2})+\int_{F_x}^2(1+\sqrt{1-(x-1)^2}-1+\sqrt{1-(x-1)^2}[/tex3]
[tex3]\approx0.536494+0.04903 \approx 0.585524[/tex3]
A última integral é devido ao fato de que a temos a área entre a parte de cima da circunferência e a debaixo, por isso fica a equação da parte de cima menos a equação da parte debaixo.
As duas integrais dá pra resolver por substituição trigonométrica, mas a resposta fica bem feia e os números também são ruins de substituir. Não vi uma saída por plana simplesmente. Claramente tem que usar trigonometria junto, e vai aparecer uns ângulos bem feios.
Vou considerar como 2 o lado do quadrado.
Por integral, considere um sistema de eixos centrados em A. A equação da circunferência é [tex3](x-1)^2+(y-1)^2=1[/tex3] . A parte de cima se torna [tex3]y=1+\sqrt{1-(x-1)^2}[/tex3]
Para o quarto de circunferência, temos [tex3]x^2+y^2=4 \rightarrow y=\sqrt{4-x^2}[/tex3]
O ponto E é tal que:
[tex3]1+\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{4-x^2} \rightarrow 1+2\sqrt{1-(x-1)^2}+1-x^2+2x-1=4-x^2[/tex3]
[tex3]2\sqrt{1-(x-1)^2}=3-2x \rightarrow 4(-x^2+2x)=9-12x+4x^2 \rightarrow x=\frac{5-\sqrt{7}}{4}[/tex3]
O ponto F é tal que:
[tex3]1-\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{4-x^2} \rightarrow ... \rightarrow x= \frac{5+\sqrt{7}}{4}[/tex3]
A área pedida pode ser interpreptada como:
[tex3]\int_{E_x}^{F_x}(1+\sqrt{1-(x-1)^2})-(\sqrt{4-x^2})+\int_{F_x}^2(1+\sqrt{1-(x-1)^2}-1+\sqrt{1-(x-1)^2}[/tex3]
[tex3]\approx0.536494+0.04903 \approx 0.585524[/tex3]
A última integral é devido ao fato de que a temos a área entre a parte de cima da circunferência e a debaixo, por isso fica a equação da parte de cima menos a equação da parte debaixo.
As duas integrais dá pra resolver por substituição trigonométrica, mas a resposta fica bem feia e os números também são ruins de substituir. Não vi uma saída por plana simplesmente. Claramente tem que usar trigonometria junto, e vai aparecer uns ângulos bem feios.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Ago 2018
19
21:59
Re: Geometria Plana - Área Hachurada
Muito obrigado os dois, realmente esclarecedor
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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