Olimpíadas

Seja [tex3]f(x)[/tex3] uma função que satisfaz [tex3]f(29+x)=f(29-x).[/tex3] Se [tex3]f(x)[/tex3] tem exatamente três raízes reais [tex3]\alpha ,\beta ,\gamma [/tex3] , determine o valor de [tex3]\alpha +\beta +\gamma [/tex3] .

Resposta

gabarito:87

Substituindo [tex3]x[/tex3] por [tex3]29 - x,[/tex3] ou seja, [tex3]x \leftarrow 29 -x[/tex3] ([tex3]x[/tex3] recebe [tex3]29 - x[/tex3] ), vem

[tex3]f(x) = f(58 - x)[/tex3]

Assim, se [tex3]\alpha[/tex3] é raiz de [tex3]f(x),[/tex3] então [tex3]58 - \alpha[/tex3] também é raiz de [tex3]f(x).[/tex3] Suponha distintas. De forma semelhante, se [tex3]\beta[/tex3] é raiz de [tex3]f(x),[/tex3] então [tex3]58 - \beta[/tex3] também é raiz de [tex3]f(x).[/tex3] Porém, como há apenas três raízes reais, tome, sem perda de generalidade, [tex3]\beta = 58 - \beta:[/tex3]

[tex3]\beta = 58 - \beta \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \beta = 29[/tex3]

e daí

[tex3]\alpha + 58 - \alpha + 29 = 87.[/tex3]

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