OlimpíadasTeoria dos Números Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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jomatlove
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Ago 2018 10 14:59

Teoria dos Números

Mensagem não lida por jomatlove »

Determine todos os inteiro a e b de modo que [tex3](a^{3}+b)(a+b^{3})=(a+b)^{4}[/tex3]
Resposta

Sem gabarito



Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)

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Ittalo25
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Ago 2018 10 15:36

Re: Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]a=b=0 [/tex3] é solução, assim como qualquer par [tex3](a,0) [/tex3] ou [tex3](0,b) [/tex3]

[tex3](a^{3}+b)(a+b^{3})=(a+b)^{4}[/tex3]
[tex3]4a^2+4b^2+6ab = a^2b^2+1[/tex3]
[tex3](2a+2b)^2 -2ab = a^2b^2+1[/tex3]
[tex3](2a+2b)^2 = (ab+1)^2[/tex3]

2 casos:

[tex3]2a+2b = ab+1[/tex3]
[tex3](-a+2)(b-2) = -3[/tex3]

Basta resolver lembrando que [tex3]-3 = -1 \cdot 3 = -3\cdot 1 [/tex3]

[tex3]2a+2b = -ab-1[/tex3]
[tex3](a+2)(b+2) = 3[/tex3]

Basta resolver lembrando que [tex3]3 = 1 \cdot 3 = -3\cdot -1 [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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