Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Babi123** » Qui 02 Ago, 2018 20:13

Se [tex3]x, y, z[/tex3] são reais e satisfazem [tex3]x +y+z=5[/tex3] e [tex3]xy+xz+yz=3[/tex3] , prove que [tex3]-1\leq z\leq \frac{13}{3}[/tex3] e determine o valor mínimo de [tex3]z[/tex3] .

Mensagem não lidapor **jvmago** » Qui 02 Ago, 2018 22:46 · Mensagem não lida por **jvmago** » Qui 02 Ago, 2018 22:46

talvez saia por cálculo

To meio ruim no raciocínio inteligente, apelei um pouco...
[tex3]x=5-y-z[/tex3]
[tex3](5-y-z)y+(5-y-z)z+yz=3 \rightarrow 5y-y^2-zy+5z-zy-z^2+yz=3 \rightarrow \\
5y+5z-zy-y^2-z^2=3 \rightarrow y^2+yz+z^2-5y-5z+3=0[/tex3] . Seja [tex3]F(y,z)=y^2+yz+z^2-5y-5z+3[/tex3]
Lembrando do modelo [tex3]Ax^2+Bxy+Cz^2+Dx+Ey+F=0[/tex3] , temos que [tex3]B^2-4AC[/tex3] define a cônica. No caso, temos [tex3]1-4=-3[/tex3] , que, sendo um valor negativo, representa uma elipse. O termo [tex3]yz[/tex3] indica que ela está rotacionada. O ângulo de rotação é [tex3]tg(2\alpha)=\frac{B}{A-C}=\frac{1}{1-1} \rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}[/tex3]
Para encontrar o centro da cônica, resolvemos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial y}=0 \rightarrow 2y+z-5=0 \\
\frac{\partial F}{\partial z}=0 \rightarrow y+2z-5=0
\end{cases} \rightarrow y_c=z_c=\frac{5}{3}[/tex3]

Calculamos então [tex3]F(y_c,z_c)=-\frac{16}{3}[/tex3] . Então podemos simplificar a cônica para [tex3]y^2+yz+z^2-\frac{16}{3}[/tex3] .

Finalmente, uma rotação para eliminar o termo retangular. Na rotação, temos que a soma A+C permanece constante, assim como [tex3]B^2-4AC[/tex3] . Queremos que B' suma, então impomos B'=0
[tex3]\begin{cases}
A'+C'=2 \\
-4A'C'=-3
\end{cases} \rightarrow A'=\frac{1}{2}, C'=\frac{3}{2}[/tex3]
Ou o contrário, mas não vai fazer diferença. Isso significa que nossa curva se torna:
[tex3]\frac{y^2}{2}+\frac{3z^2}{2}=\frac{16}{3} \rightarrow \frac{y^2}{\frac{32}{3}}+\frac{z^2}{\frac{32}{9}}=1[/tex3]
Daqui observamos que o valor máximo e mínimo de z se dá para y=0, de onde temos [tex3]z^2=\frac{32}{9} \rightarrow z = \pm\frac{4\sqrt{2}}{3}[/tex3] . Os pontos são, então, [tex3](0,\pm\frac{4\sqrt{2}}{3})[/tex3]

Mas agora devemos lembrar que realizamos uma translação e uma rotação. Devemos desfazê-las para voltar na variável original (a rigor, eu deveria ter adotado z' z'' após transladar e rotacionar, pois mudamos o sistema de coordenadas). Como rotacionamos 45 graus (que é sempre feito no sentido anti-horário), devemos rotacionar esse ponto 45 graus no sentido horário agora. Como o ponto está em cima do eixo z, quando rotacionamos, teremos um triângulo retângulo de 45 graus e hipotenusa de tamanho [tex3]\frac{4\sqrt{2}}{3}[/tex3] e as novas coordenadas serão simplesmente [tex3](\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}cos(45),\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}sen(45)) = (\pm \frac{4}{3},\pm \frac{4}{3})[/tex3]

Por último, desfazemos a translação. Basta somar [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] , e obtemos os pontos:
[tex3](3,3)[/tex3]
[tex3](\frac{1}{3},\frac{1}{3})[/tex3]

Temos as ternas: [tex3](-1,3,3)[/tex3] e [tex3](\frac{13}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})[/tex3]

Agora, observe que poderíamos ter isolado outra incognita e feito o processo com outras duas sem ser y e z. Onde eu quero chegar: a simetria da equação garante que existe também [tex3](3,3,-1)[/tex3] e [tex3](\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{13}{3})[/tex3] , de onde teríamos, finalmente:
[tex3]-1 \leq z \leq \frac{13}{3}[/tex3] , com [tex3]z=-1[/tex3] sendo o valor mínimo para z.

Alguém resolve isso de um jeito melhor por favor :/

Sabemos que o polinômio que tem as raízes x,y,z é:

[tex3]t^3-5t^2+3t-k=0[/tex3]

Onde k é parâmetro. Pense na forma da função. Ela sempre deverá ter três raízes, sendo que no pior dos casos, uma é dupla. Ao passo que k é aumentado, a função vai baixando, de tal forma que a maior raíz distancia-se da origem. Porém, quando o pico de concavidade para baixo toca o eixo, a raíz da qual estávamos falando é máxima. Qualquer k maior que esse último resultará no aparecimento de raízes complexas - resultado no qual não estamos interessados. O caso mínimo é análogo. Aos cálculos:

[tex3]f(t)=t^3-5t^2+3t-k\\
f'(t_0)=3t_0^2-10t_0+3=0\\
t_0'=3\\
t_0''=1/3[/tex3]

Alguns números mágicos que também apareceram na solução do undefinied. Esses [tex3]t_0's[/tex3] são justamente os pontos em que a função atinge um pico (ou vale). Conforme meu raciocínio, [tex3]f(t_0)=0[/tex3]

[tex3]f(3)=0\to k'=-9\\
f(1/3)=0\to k''=\frac{13}{27}\\
xyz=t_0^2z=k\\
\therefore z=\frac{k}{t_0^2}\\
z'=\frac{-9}{9}=-1\\
z''=\frac{13}{27\cdot \frac{1}{9}}=\frac{13}{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Babi123** » Sex 03 Ago, 2018 10:25

Obrigado undefinied3 e Andre13000. Só ideias maravilhosas.

Consegui uma resolução totalmente elementar:

[tex3]x+y+z=5 \rightarrow x+y=5-z[/tex3]

[tex3]xy+xz+yz=3 \rightarrow xy+z(x+y)=3 \rightarrow xy+z(5-z)=3 \rightarrow xy=z^2-5z+3[/tex3]

Então x e y são raízes de [tex3]t^2-(5-z)t+(z^2-5z+3)=0[/tex3] , cujo discriminante deve não negativo:
[tex3](5-z)^2-4(z^2-5z+3)=25-10z+z^2-4z^2+20z-12=-3z^2+10z+13 \geq 0[/tex3]

De onde obtemos o resultado [tex3]-1 \leq z \leq \frac{13}{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Killin** » Ter 07 Ago, 2018 22:40 · Mensagem não lida por **Killin** » Ter 07 Ago, 2018 22:40

undefinied3 escreveu: ↑
Ter 07 Ago, 2018 19:26
Consegui uma resolução totalmente elementar:

Sensacional.

He had his own idiosyncratic vocabulary: although an agnostic atheist,[25][26] he spoke of "The Book", a visualization of a book in which God had written down the best and most elegant proofs for mathematical theorems.[27] Lecturing in 1985 he said, "You don't have to believe in God, but you should believe in The Book." He himself doubted the existence of God, whom he called the "Supreme Fascist" (SF).[28][29] He accused SF of hiding his socks and Hungarian passports, and of keeping the most elegant mathematical proofs to Himself. When he saw a particularly beautiful mathematical proof he would exclaim, "This one's from The Book!" This later inspired a book titled Proofs from the Book.

Se eu conseguir ir pro ITA, primeira coisa que eu vou fazer é chegar na biblioteca para ver onde ele tá kkkkk.

Olimpíadas ⇒ Máximo/Mínimo Tópico resolvido

Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Re: Máximo/Mínimo

Olimpíadas ⇒ Máximo/Mínimo Tópico resolvido

Entrar • Registrar