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Mensagem não lidapor **Babi123** » 02 Ago 2018, 20:00 · Mensagem não lida por **Babi123** » 02 Ago 2018, 20:00

considere a equação [tex3]3x^2-4x+k=0[/tex3] com raízes reais. Determine o valor de [tex3]k[/tex3] para o qual o produto das raízes seja máximo.

Acho que é só só zerar o delta, pois negativo ele não pode ser.
[tex3]\Delta =16-12k=0[/tex3] , pois [tex3]\left(\frac{4+\sqrt{16-12k}}{6}\right).\left(\frac{4-\sqrt{16-12k}}{6}\right)=x_1.x_2\rightarrow x_1.x_2=\frac{4-(4-3k)}{9}[/tex3] , o mais óbvio para maximar é 4-3k ser o mais negativo possível e isso não pode devido a raiz, então temos que zerar o delta ou seja [tex3]k=\frac{4}{3}[/tex3] .

Mensagem não lidapor **Killin** » 28 Dez 2018, 20:09 · Mensagem não lida por **Killin** » 28 Dez 2018, 20:09

Eu não entendi essa resolução, se puder explicar melhor.

O que dá pra fazer é usar a desigualdade das médias ([tex3]M_G \leq M_A[/tex3] ), que aí também sai certinho.

[tex3]x_1x_2=\frac{k}{3}[/tex3]

[tex3]x_1+x_2=\frac{4}{3}[/tex3]

Mas, [tex3]\sqrt{x_1x_2}\leq\frac{x_1+x_2}{2}\to\sqrt{x_1x_2}\leq\frac{4}{6} \to x_1x_2\leq\frac{16}{36}[/tex3]

Ou seja, [tex3]\frac{16}{36}[/tex3] é o máximo do produto. Então:

[tex3]k=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **snooplammer** » 28 Dez 2018, 20:21

Não foi eu que fiz, mas acho que é pelo fato que [tex3]16-12k\geq0[/tex3] e em [tex3]\frac{4-\sqrt{16-12k}}{6}[/tex3] se tivermos [tex3]16-12k>0[/tex3] teríamos o fato de que [tex3]\frac{4-\sqrt{16-12k}}{6}[/tex3] irá reduzir, portanto não teríamos máximo dos produtos

Creio que seja isso,

Mensagem não lidapor **erihh3** » 28 Dez 2018, 20:34 · Mensagem não lida por **erihh3** » 28 Dez 2018, 20:34

Killin escreveu: ↑28 Dez 2018, 20:09 Eu não entendi essa resolução, se puder explicar melhor.

O que dá pra fazer é usar a desigualdade das médias ([tex3]M_G \leq M_A[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]M_G \leq M_A[/tex3]
), que aí também sai certinho.

[tex3]x_1x_2=\frac{k}{3}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]x_1x_2=\frac{k}{3}[/tex3]

[tex3]x_1+x_2=\frac{4}{3}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]x_1+x_2=\frac{4}{3}[/tex3]

Mas, [tex3]\sqrt{x_1x_2}\leq\frac{x_1+x_2}{2}\to\sqrt{x_1x_2}\leq\frac{4}{6} \to x_1x_2\leq\frac{16}{36}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\sqrt{x_1x_2}\leq\frac{x_1+x_2}{2}\to\sqrt{x_1x_2}\leq\frac{4}{6} \to x_1x_2\leq\frac{16}{36}[/tex3]

Ou seja, [tex3]\frac{16}{36}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{16}{36}[/tex3]
é o máximo do produto. Então:

[tex3]k=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]k=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}[/tex3]

Isso só valeria se o enunciado afirmasse que as raízes são positivas. Se as raizes fossem -1 e 2, por exemplo, nem existiria MG. Se as duas fossem negativas, [tex3]MG> MA[/tex3]

Mensagem não lidapor **erihh3** » 28 Dez 2018, 20:49 · Mensagem não lida por **erihh3** » 28 Dez 2018, 20:49

Vou deixar uma solução também

Dividindo por 3

[tex3]x^2-\frac{4}{3}x+\frac{k}{3}=0[/tex3]

Completando quadrados

[tex3]x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}+\frac{k}{3}=0[/tex3]

[tex3]\left( x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}+\frac{k}{3}=0[/tex3]

Usando as relações de Girard, vemos que o produto das raízes é [tex3]\frac{k}{3}[/tex3] . Com isso,

[tex3]\left( x-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}-P[/tex3]

[tex3]\frac{4}{9}-P\geq0[/tex3]

[tex3]P\leq\frac{4}{9}[/tex3]

[tex3]P_{max}=\frac{4}{9}[/tex3]

[tex3]k_{max}=\frac{4}{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Killin** » 28 Dez 2018, 20:55 · Mensagem não lida por **Killin** » 28 Dez 2018, 20:55

erihh3 escreveu: ↑28 Dez 2018, 20:34 Isso só valeria se o enunciado afirmasse que as raízes são positivas. Se as raizes fossem -1 e 2, por exemplo, nem existiria MG.

Mas aqui acho que é válido sim, porque como a soma das raízes é positiva, pelo menos uma das raízes é positiva. Então se impormos que o produto seja positivo, ou seja, k>0, automaticamente as duas serão positivas. Então só é necessário se atentar para que k seja positivo no final.

Mensagem não lidapor **erihh3** » 28 Dez 2018, 21:07 · Mensagem não lida por **erihh3** » 28 Dez 2018, 21:07

Entendi. Se supor a existencia de solução para [tex3]k\geq 0[/tex3] , todas elas serão maiores que as do caso k<0. Aí se encontrar pelo menos uma, não é necessário analisar o segundo caso.

Maneiro

Killin escreveu: ↑28 Dez 2018, 20:09 Eu não entendi essa resolução, se puder explicar melhor.

[tex3](a+\sqrt{\Delta}). (a-\sqrt{\Delta})=a^{2}+(-|\Delta|)=x_1. x_2[/tex3]
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[tex3](a+\sqrt{\Delta}). (a-\sqrt{\Delta})=a^{2}+(-|\Delta|)=x_1. x_2[/tex3]

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