Olimpíadas ⇒ função Tópico resolvido

[Babi123]

Seja [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

um polinômio tal que [tex3]f(x^2+1)=x^4+4x[/tex3]

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[tex3]f(x^2+1)=x^4+4x[/tex3]

. Determine [tex3]f(x^2-1)[/tex3]

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[tex3]f(x^2-1)[/tex3]

.

[undefinied3]

Tem algo de errado.
[tex3]x=1 \rightarrow f(1^2+1)=1^4+4.1=5[/tex3]

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[tex3]x=1 \rightarrow f(1^2+1)=1^4+4.1=5[/tex3]

[tex3]x=-1 \rightarrow f((-1)^2+1)=(-1)^4-4=-3 [/tex3]

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[tex3]x=-1 \rightarrow f((-1)^2+1)=(-1)^4-4=-3 [/tex3]

Daí [tex3]f(2)[/tex3]

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[tex3]f(2)[/tex3]

têm dois valores.

[Andre13000]

Fazendo [tex3]x^2+1=u[/tex3]

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[tex3]x^2+1=u[/tex3]

a função toma a seguinte forma:

[tex3]f(u)=(u-1)^2\pm4\sqrt{u-1}[/tex3]

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[tex3]f(u)=(u-1)^2\pm4\sqrt{u-1}[/tex3]

Portanto f não pode ser polinômio. Realmente há algo de estranho na questão.

[Babi123]

Perdão,

Seja [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

um polinômio tal que [tex3]f(x^2+1)=x^4+4x[/tex3]

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[tex3]f(x^2+1)=x^4+4x[/tex3]

o correto é:
[tex3]f(x^2+1)=x^4+4x^2[/tex3]

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[tex3]f(x^2+1)=x^4+4x^2[/tex3]

.

[Andre13000]

[tex3]f(x^2+1)=x^4+4x^2\\
f(x^2+1)=x^4+4x^2+1-1=(x^2+1)^2-1\\
f(t)=t^2-1\\
t\geq 1\\
f(x^2-1)=(x^2-1)^2-1=x^4-4x^2\\
x\geq\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]f(x^2+1)=x^4+4x^2\\
f(x^2+1)=x^4+4x^2+1-1=(x^2+1)^2-1\\
f(t)=t^2-1\\
t\geq 1\\
f(x^2-1)=(x^2-1)^2-1=x^4-4x^2\\
x\geq\sqrt{2}[/tex3]

[Babi123]

Só para terminar , de onde vem a conclusão que [tex3]x\geq\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x\geq\sqrt{2}[/tex3]

?
Obrigada!

[Andre13000]

Eu assumi que [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3]

Desse modo, como sabemos [tex3]f(x^2+1)\to x^2+1\geq 1[/tex3]

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[tex3]f(x^2+1)\to x^2+1\geq 1[/tex3]

, temos que [tex3]x^2-1\geq 1[/tex3]

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[tex3]x^2-1\geq 1[/tex3]

. Daí, [tex3]x^2\geq 2\to |x|\geq \sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x^2\geq 2\to |x|\geq \sqrt{2}[/tex3]

.