OlimpíadasEquação Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Equação

Mensagem não lida por Babi123 »

Prove que o número:
[tex3]c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}[/tex3]
é uma raiz de:
[tex3]f(x)=x^3+\sqrt[3]{6}\cdot x^2-1[/tex3]

Última edição: Babi123 (Ter 24 Jul, 2018 01:13). Total de 1 vez.



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Andre13000
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Re: Equação

Mensagem não lida por Andre13000 »

Considere as seguintes quantidades:

[tex3]X=a+b+c\\
Y=ab+bc+ac\\
Z=abc\\
x=a^{1/3}+b^{1/3}+z^{1/3}\\
y=(ab)^{1/3}+(bc)^{1/3}+(ac)^{1/3}\\
z=(abc)^{1/3}[/tex3]

Analisemos primeiramente um polinômio de raízes [tex3]a^{1/3},b^{1/3},c^{^1/3}[/tex3] . Newton nos diz o seguinte:

[tex3]S_3-xS_2+yS_1-3z=0\\
X-x(x^2-2y)+yx-3z=0\\
X-x^3+3yx-3z=0~~(***)[/tex3]

Seja [tex3]a=1/9,b=-2/9,c=4/9[/tex3] . Note que surgem as relações:

[tex3]Z=(-2/9)^3\to z=-\frac{2}{9}\\
X=\frac{1}{3}\\
Y=\frac{-2}{27}\\
y=-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}x[/tex3]

Colocando essas informações na equação (***) obtemos os resultado esperado.



“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

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