Prove que o número:
[tex3]c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}[/tex3]
é uma raiz de:
[tex3]f(x)=x^3+\sqrt[3]{6}\cdot x^2-1[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Equação Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 847
- Registrado em: Sáb 18 Mar, 2017 17:30
- Última visita: 02-03-22
Jul 2018
24
10:36
Re: Equação
Considere as seguintes quantidades:
[tex3]X=a+b+c\\
Y=ab+bc+ac\\
Z=abc\\
x=a^{1/3}+b^{1/3}+z^{1/3}\\
y=(ab)^{1/3}+(bc)^{1/3}+(ac)^{1/3}\\
z=(abc)^{1/3}[/tex3]
Analisemos primeiramente um polinômio de raízes [tex3]a^{1/3},b^{1/3},c^{^1/3}[/tex3] . Newton nos diz o seguinte:
[tex3]S_3-xS_2+yS_1-3z=0\\
X-x(x^2-2y)+yx-3z=0\\
X-x^3+3yx-3z=0~~(***)[/tex3]
Seja [tex3]a=1/9,b=-2/9,c=4/9[/tex3] . Note que surgem as relações:
[tex3]Z=(-2/9)^3\to z=-\frac{2}{9}\\
X=\frac{1}{3}\\
Y=\frac{-2}{27}\\
y=-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}x[/tex3]
Colocando essas informações na equação (***) obtemos os resultado esperado.
[tex3]X=a+b+c\\
Y=ab+bc+ac\\
Z=abc\\
x=a^{1/3}+b^{1/3}+z^{1/3}\\
y=(ab)^{1/3}+(bc)^{1/3}+(ac)^{1/3}\\
z=(abc)^{1/3}[/tex3]
Analisemos primeiramente um polinômio de raízes [tex3]a^{1/3},b^{1/3},c^{^1/3}[/tex3] . Newton nos diz o seguinte:
[tex3]S_3-xS_2+yS_1-3z=0\\
X-x(x^2-2y)+yx-3z=0\\
X-x^3+3yx-3z=0~~(***)[/tex3]
Seja [tex3]a=1/9,b=-2/9,c=4/9[/tex3] . Note que surgem as relações:
[tex3]Z=(-2/9)^3\to z=-\frac{2}{9}\\
X=\frac{1}{3}\\
Y=\frac{-2}{27}\\
y=-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}x[/tex3]
Colocando essas informações na equação (***) obtemos os resultado esperado.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 1019 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 1746 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 1471 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 3 Respostas
- 893 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 3 Respostas
- 820 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979