OlimpíadasSoma Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Jul 2018 16 21:20

Soma

Mensagem não lida por Babi123 »

Compute a soma:
[tex3]S=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2010}{2008!+2009!+2010!}[/tex3]
Resposta

[tex3]S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2010!}[/tex3]




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AndreBRasera
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Jul 2018 17 13:23

Re: Soma

Mensagem não lida por AndreBRasera »

Hum. Cara, não consegui resolver ainda... Mas achei uma coisa interessante.

Dá pra generalizar cada termo dessa sequência assim:

[tex3]a_n=\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}[/tex3]

Daí:

[tex3]a_n=\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=a\frac{(n+2)}{n!+(n+1)\cdot n!+(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}=\frac{(n+2)}{n!(1+n+1+n^2+3n+2)}=\frac{(n+2)}{n!(n^2+4n+4)}=\frac{1}{n!(n+2)}[/tex3]

Olha só, uma sequência infinita definida por essa lei seria convergente, com uma soma bem conhecida:

[tex3]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+2)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}+\dots=1[/tex3]

A nossa sequência começa em n=1 e vai até n=2008. Parece interessante essa relação, mas não sei o que fazer!

Alguém?




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Andre13000
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Jul 2018 17 13:57

Re: Soma

Mensagem não lida por Andre13000 »

Basta notar que [tex3]\frac{1}{n!\cdot (n+2)}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}[/tex3]

Agora, a pergunta é a seguinte: como descobrir que há alguma jogada dessa por trás? Essa telescopia não é óbvia, mas observemos que a seguinte função é não elementar:

[tex3]S(n)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}[/tex3]

Portanto você percebe que para que haja alguma resposta bonita, deve ter alguma telescopia atuando. Outro modo de resolver essa questão é considerar uma equação diferencial, mas infelizmente não tenho tempo para mostrá-la. Começa mais ou menos assim:

[tex3]S=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!\cdot(k+2)}[/tex3]

E algumas manipulações te levam a uma equação diferencial que provavelmente não terá resolução elementar, e aí tem que tentar mais alguns truques para finalizar.
Última edição: Andre13000 (Qua 18 Jul, 2018 13:34). Total de 1 vez.


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Hanon
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Re: Soma

Mensagem não lida por Hanon »

...Continuando:
[tex3]\frac{1}{n!\cdot (n+2)}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}\\
\sum_{n=1}^{2008}\(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}\)=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{2008!}-\frac{1}{2009!}+\frac{1}{2009!}-\frac{1}{2010!}[/tex3]
Como temos uma soma telescópica, que o André indicou, então:
[tex3]\sum_{n=1}^{2008}\(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}\)=\frac{1}{2!}-\frac{1}{2010!}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\sum_{n=1}^{2008}\(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}\)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2010!}}}[/tex3]

Última edição: Hanon (Ter 17 Jul, 2018 15:37). Total de 1 vez.



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