Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Babi123** » 14 Jul 2018, 20:59 · Mensagem não lida por **Babi123** » 14 Jul 2018, 20:59

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo equilátero de lado 1, [tex3]D[/tex3] é um ponto sobre [tex3]\overline{BC}[/tex3] e sejam [tex3]r_1[/tex3]
e [tex3]r_2[/tex3] os raios das circunferências inscritas nos triângulo [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] ,
respectivamente.

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a) Expresse [tex3]r_1\cdot r_2[/tex3] em termos de [tex3]x = \overline{BD}[/tex3] ;
b) determine o valor máximo de [tex3]r_1\cdot r_2[/tex3] .

15 Jul 2018, 00:21

como o centro da circunferencia esquerda (direita) está sobre a bissetriz de B (C) = 60º
[tex3]\tg 30 = \frac{r_1}{x_1} \implies x_1 = r_1 \sqrt 3[/tex3]
[tex3]x_2 = r_2 \sqrt 3[/tex3]
[tex3]x = x_1 + p_1 - 1[/tex3]
[tex3]x = r_1 \sqrt 3 + \frac{S_1}{r_1}-1[/tex3]
[tex3]S_1 = \frac{x \sqrt 3}{4}[/tex3]
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[tex3]x+1 = r_1\sqrt3 + \frac{x\sqrt3}{4r_1} \iff \frac{x+1}{\sqrt3} = \frac{4r_1^2 + x}{4r_1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_1 = \frac1{2\sqrt3} (x+1 \pm \sqrt{x^2-x+1})[/tex3]
como quando [tex3]x=0 \implies r_1= 0[/tex3] então [tex3]r_1 = \frac{1}{2\sqrt3}(x+1 - \sqrt{x^2-x+1})[/tex3]
o [tex3]r_2[/tex3] vem de [tex3]1-x = r_2\sqrt3 +p_2-1[/tex3] e eu to com preguiça de terminar a letra a
lembre-se que [tex3]S_2 = r_2 p _2 = \frac{DC \cdot h_a}2 = \frac{DC \cdot \frac{\sqrt3}2}2 = (1-x)\frac{\sqrt3}4[/tex3]

a letra b provavelmente ocorre quando [tex3]r_1=r_2 = r[/tex3]
[tex3]1 = 2(r\sqrt3 + r) \implies r = \frac{1}{2(1+\sqrt3)} = \frac{\sqrt3-1}{4}[/tex3]
[tex3]r_1 r_2 = (\frac{\sqrt3-1}4)^2[/tex3]

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