Seja [tex3]ABC[/tex3]
e [tex3]r_2[/tex3]
os raios das circunferências inscritas nos triângulo [tex3]ABD[/tex3]
e [tex3]ADC[/tex3]
,
respectivamente.
a) Expresse [tex3]r_1\cdot r_2[/tex3]
em termos de [tex3]x = \overline{BD}[/tex3]
;
b) determine o valor máximo de [tex3]r_1\cdot r_2[/tex3]
.
um triângulo equilátero de lado 1, [tex3]D[/tex3]
é um ponto sobre [tex3]\overline{BC}[/tex3]
e sejam [tex3]r_1[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ (OPM 2010) Geometria Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 1371
- Registrado em: 28 Jul 2017, 21:05
- Última visita: 20-04-24
- Agradeceu: 1192 vezes
- Agradeceram: 271 vezes
-
- Última visita: 31-12-69
Jul 2018
15
00:21
Re: (OPM 2010) Geometria
como o centro da circunferencia esquerda (direita) está sobre a bissetriz de B (C) = 60º
[tex3]\tg 30 = \frac{r_1}{x_1} \implies x_1 = r_1 \sqrt 3[/tex3]
[tex3]x_2 = r_2 \sqrt 3[/tex3]
[tex3]x = x_1 + p_1 - 1[/tex3]
[tex3]x = r_1 \sqrt 3 + \frac{S_1}{r_1}-1[/tex3]
[tex3]S_1 = \frac{x \sqrt 3}{4}[/tex3]
logo
[tex3]x+1 = r_1\sqrt3 + \frac{x\sqrt3}{4r_1} \iff \frac{x+1}{\sqrt3} = \frac{4r_1^2 + x}{4r_1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_1 = \frac1{2\sqrt3} (x+1 \pm \sqrt{x^2-x+1})[/tex3]
como quando [tex3]x=0 \implies r_1= 0[/tex3] então [tex3]r_1 = \frac{1}{2\sqrt3}(x+1 - \sqrt{x^2-x+1})[/tex3]
o [tex3]r_2[/tex3] vem de [tex3]1-x = r_2\sqrt3 +p_2-1[/tex3] e eu to com preguiça de terminar a letra a
lembre-se que [tex3]S_2 = r_2 p _2 = \frac{DC \cdot h_a}2 = \frac{DC \cdot \frac{\sqrt3}2}2 = (1-x)\frac{\sqrt3}4[/tex3]
a letra b provavelmente ocorre quando [tex3]r_1=r_2 = r[/tex3]
[tex3]1 = 2(r\sqrt3 + r) \implies r = \frac{1}{2(1+\sqrt3)} = \frac{\sqrt3-1}{4}[/tex3]
[tex3]r_1 r_2 = (\frac{\sqrt3-1}4)^2[/tex3]
[tex3]\tg 30 = \frac{r_1}{x_1} \implies x_1 = r_1 \sqrt 3[/tex3]
[tex3]x_2 = r_2 \sqrt 3[/tex3]
[tex3]x = x_1 + p_1 - 1[/tex3]
[tex3]x = r_1 \sqrt 3 + \frac{S_1}{r_1}-1[/tex3]
[tex3]S_1 = \frac{x \sqrt 3}{4}[/tex3]
logo
[tex3]x+1 = r_1\sqrt3 + \frac{x\sqrt3}{4r_1} \iff \frac{x+1}{\sqrt3} = \frac{4r_1^2 + x}{4r_1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_1 = \frac1{2\sqrt3} (x+1 \pm \sqrt{x^2-x+1})[/tex3]
como quando [tex3]x=0 \implies r_1= 0[/tex3] então [tex3]r_1 = \frac{1}{2\sqrt3}(x+1 - \sqrt{x^2-x+1})[/tex3]
o [tex3]r_2[/tex3] vem de [tex3]1-x = r_2\sqrt3 +p_2-1[/tex3] e eu to com preguiça de terminar a letra a
lembre-se que [tex3]S_2 = r_2 p _2 = \frac{DC \cdot h_a}2 = \frac{DC \cdot \frac{\sqrt3}2}2 = (1-x)\frac{\sqrt3}4[/tex3]
a letra b provavelmente ocorre quando [tex3]r_1=r_2 = r[/tex3]
[tex3]1 = 2(r\sqrt3 + r) \implies r = \frac{1}{2(1+\sqrt3)} = \frac{\sqrt3-1}{4}[/tex3]
[tex3]r_1 r_2 = (\frac{\sqrt3-1}4)^2[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 15 Jul 2018, 12:49, em um total de 3 vezes.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 2 Respostas
- 413 Exibições
-
Última mensagem por petras
-
- 2 Respostas
- 1223 Exibições
-
Última mensagem por Babi123
-
- 2 Respostas
- 961 Exibições
-
Última mensagem por undefinied3
-
- 9 Respostas
- 3233 Exibições
-
Última mensagem por HHHoppe