Mensagem não lidapor erihh3 » Sex 21 Dez, 2018 20:52
Mensagem não lida
por erihh3 »
As raízes, por estaren em PG, podem ser escritas da seguinte forma:
[tex3](b_1,b_2,b_3,b_4)=(\frac{y}{q^2},\frac{y}{q},y.q,y.q^2)[/tex3]
Usando as relações de Girard, tem-se:
Último termo:
[tex3]1=\frac{y}{q^2}.\frac{y}{q}.y.q.y.q^2=y^4[/tex3]
Para facilitar, vamos pegar apenas o y real. No caso, [tex3]y=1[/tex3]
.
Deste modo, as raízes serão [tex3]\left(\frac{1}{q^2},\frac{1}{q},q,q^2\right)[/tex3]
Se [tex3]q[/tex3]
e [tex3]\frac{1}{q}[/tex3]
são raízes, tem-se
[tex3]P(q)=16q^4-aq^3+(2a+17)q^2+16=0[/tex3]
[tex3]P(\frac{1}{q})=\frac{16}{q^4}- \frac{a}{q^3} +(2a+17)\frac{1}{q^2}+16=0
[/tex3]
Como [tex3]q\neq 0[/tex3]
, vamos dividir p(q) por [tex3]q^4[/tex3]
. Dai,
[tex3]16- \frac{a}{q} +(2a+17)\frac{1}{q^2}+\frac{16}{q^4}=0
[/tex3]
Subtraindo essa relação com a obtida em p(1/q)
[tex3]a.\left( \frac{1}{q^3}-\frac{1}{q} \right)=0[/tex3]
Assim, ou a=0 ou [tex3]\left( \frac{1}{q^3}-\frac{1}{q} \right)=0[/tex3]
.
Analisando o caso [tex3]\frac{1}{q^3}-\frac{1}{q} =0[/tex3]
Para isso acontecer,
[tex3]\frac{1}{q}=0[/tex3]
(impossível)
[tex3]q=\pm 1[/tex3]
(impossível porque as raízes são distintas)
Deste modo, a única alternativa é [tex3]a=0[/tex3]
.
Ciclo Básico - IME