Olimpíadas(IMO Shortlist 1982) Polinômio Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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(IMO Shortlist 1982) Polinômio

Mensagem não lida por Babi123 »

Existe o número real [tex3]a[/tex3] , tal que as quatro raízes distintas de [tex3]16x^4-ax^3+(2a+17)x^2+16=0[/tex3] formam uma progressão geométrica. Encontre [tex3]a[/tex3] .




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erihh3
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Re: (IMO Shortlist 1982) Polinômio

Mensagem não lida por erihh3 »

As raízes, por estaren em PG, podem ser escritas da seguinte forma:

[tex3](b_1,b_2,b_3,b_4)=(\frac{y}{q^2},\frac{y}{q},y.q,y.q^2)[/tex3]

Usando as relações de Girard, tem-se:

Último termo:
[tex3]1=\frac{y}{q^2}.\frac{y}{q}.y.q.y.q^2=y^4[/tex3]

Para facilitar, vamos pegar apenas o y real. No caso, [tex3]y=1[/tex3] .

Deste modo, as raízes serão [tex3]\left(\frac{1}{q^2},\frac{1}{q},q,q^2\right)[/tex3]

Se [tex3]q[/tex3] e [tex3]\frac{1}{q}[/tex3] são raízes, tem-se


[tex3]P(q)=16q^4-aq^3+(2a+17)q^2+16=0[/tex3]

[tex3]P(\frac{1}{q})=\frac{16}{q^4}- \frac{a}{q^3} +(2a+17)\frac{1}{q^2}+16=0
[/tex3]

Como [tex3]q\neq 0[/tex3] , vamos dividir p(q) por [tex3]q^4[/tex3] . Dai,

[tex3]16- \frac{a}{q} +(2a+17)\frac{1}{q^2}+\frac{16}{q^4}=0
[/tex3]

Subtraindo essa relação com a obtida em p(1/q)

[tex3]a.\left( \frac{1}{q^3}-\frac{1}{q} \right)=0[/tex3]

Assim, ou a=0 ou [tex3]\left( \frac{1}{q^3}-\frac{1}{q} \right)=0[/tex3] .

Analisando o caso [tex3]\frac{1}{q^3}-\frac{1}{q} =0[/tex3]

Para isso acontecer,

[tex3]\frac{1}{q}=0[/tex3] (impossível)
[tex3]q=\pm 1[/tex3] (impossível porque as raízes são distintas)

Deste modo, a única alternativa é [tex3]a=0[/tex3] .



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erihh3
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Re: (IMO Shortlist 1982) Polinômio

Mensagem não lida por erihh3 »

Eu vi agora que teria uma solução mais fácil para a parte final da questão utilizando relações de Girard.

Usando Girard para a soma 1a1 e 3a3.

Segundo termo:
[tex3]\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+q+q^2=\frac{a}{16}[/tex3]

Penúltimo termo:
[tex3]\frac{1}{q^2}.\frac{1}{q}.q+\frac{1}{q^2}.\frac{1}{q}.q^2+ \frac{1}{q^2}.q.q^2+ \frac{1}{q}.q.q^2=\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+q+q^2=0[/tex3]

Deste modo,

[tex3]a=0[/tex3]


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Ittalo25
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Re: (IMO Shortlist 1982) Polinômio

Mensagem não lida por Ittalo25 »

As raízes não seriam [tex3](b_1,b_2,b_3,b_4)=(\frac{y}{q^2},\frac{y}{q},y,yq)[/tex3] ?


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Babi123
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Re: (IMO Shortlist 1982) Polinômio

Mensagem não lida por Babi123 »

Ittalo25, de fato. Não me atentei para isso.



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erihh3
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Re: (IMO Shortlist 1982) Polinômio

Mensagem não lida por erihh3 »

Opa, vdd. Tenta fazer assim:
[tex3](b_1,b_2,b_3,b_4)=(\frac{y}{q^3},\frac{y}{q},y.q,y.q^{3})[/tex3]

A razão agora seria [tex3]q^2[/tex3] mas as análises seriam as mesmas da solução anterior.



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