Olimpíadas ⇒ Equação Tópico resolvido

[Hanon]

Prove que não existe inteiros positivos [tex3]a,b,c[/tex3]

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[tex3]a,b,c[/tex3]

tais que:
[tex3]a^2+b^2+c^2=a^2b^2[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2+c^2=a^2b^2[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Prova

A equação pode ser reescrita como:

c² = a²b² - a² - b² + 1 - 1

c² = a²( b² - 1 ) - 1( b² - 1 ) - 1

c² = ( a² - 1 )( b² - 1 ) - 1.

Se pelo menos um dentre a ou b é ímpar, teremos c² ≡ 3 ( mod 4 ). Como os quadrados perfeitos só podem deixar resto 0 ou 1 ( mod 4 ), temos um absurdo. Portanto, a , b e consequentemente c são números pares. Seja K o maior inteiro tal que 2 [tex3]^{k}[/tex3]

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[tex3]^{k}[/tex3]

divida esses três números. Assim, [tex3]a=2^kx, b=2^ky \ e \ c=2^kz[/tex3]

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[tex3]a=2^kx, b=2^ky \ e \ c=2^kz[/tex3]

onde pelo menos um dentre x , y e z ímpar. Assim,

[tex3](2^kx)^2+(2^ky)^2+(2^kz)^2=(2^kx)^2.(2^ky)^2[/tex3]

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[tex3](2^kx)^2+(2^ky)^2+(2^kz)^2=(2^kx)^2.(2^ky)^2[/tex3]

[tex3]2^{2k}.[x^2+y^2+z^2]=2^{2k}.2^{2k}.x^2.y^2[/tex3]

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[tex3]2^{2k}.[x^2+y^2+z^2]=2^{2k}.2^{2k}.x^2.y^2[/tex3]

[tex3]x^2+y^2+z^2=2^{2r}x^2y^2[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2+z^2=2^{2r}x^2y^2[/tex3]

Como r > 0, x² + y² + z² ≡ 0 ( mod 4 ). Entretanto, isso não é possível se um dentre os x , y , z é ímpar , pois a soma só poderia ser congruente à 1 , 2 , 3 ( mod 4 ). Sendo assim, a equação dada não possui solução nos inteiros positivos , ou seja , não existe inteiros positivos a , b , c tais que a² + b² + c² = a²b². c.q.p.


Bons estudos!