Ache todos os primos [tex3]p[/tex3]
para o qual existem inteiros positivos [tex3](n, x, y)[/tex3]
tal que:
[tex3]p^n=x^3+y^3[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Hungria - 2000) Equação Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2018
09
16:07
Re: (Hungria - 2000) Equação
As soluções triviais são: [tex3]2^1 = 1^3+1^3 [/tex3]
e [tex3]3^2 = 2^3+1^3 [/tex3]
.
Supondo então que [tex3]p \geq 5[/tex3] , temos que pelo menos x ou y é maior que 1, já que [tex3]x^3+y^3 \geq 5[/tex3]
Sendo assim: [tex3]x+y\geq 3 [/tex3] e [tex3]x^2+y^2-xy = (x-y)^2+xy \geq 2 [/tex3]
Os dois fatores são maiores que 1, então os dois fatores são potências de p. Em particular são divisíveis por p.
Se [tex3]p | x+y [/tex3] e [tex3]p | x^2+y^2-xy [/tex3] , então [tex3]p |(x+y)^2 - x^2+y^2-xy = 3xy [/tex3]
Então [tex3]p|x [/tex3] ou [tex3]p|y [/tex3] . Mas como [tex3]p | x+y [/tex3] , então p divide x e também y.
x e y são múltiplos de p, sendo assim: [tex3]x^3+y^3 \geq 2p^3 > p^3[/tex3]
Então obviamente [tex3]n > 3[/tex3]
Mas perceba que:
[tex3]p^{n-3} = \left(\frac{x}{p}\right)^3+\left(\frac{y}{p}\right)^3 [/tex3]
Lembrando que x e y são divisíveis por p, então para toda solução [tex3](x,y,n,p) [/tex3] , sempre haverá uma solução menor [tex3](\frac{x}{p},\frac{y}{p},n-3,p) [/tex3] .
Então definindo n como menor valor possível, é possível achar um valor menor ainda. Absurdo.
Supondo então que [tex3]p \geq 5[/tex3] , temos que pelo menos x ou y é maior que 1, já que [tex3]x^3+y^3 \geq 5[/tex3]
Sendo assim: [tex3]x+y\geq 3 [/tex3] e [tex3]x^2+y^2-xy = (x-y)^2+xy \geq 2 [/tex3]
Os dois fatores são maiores que 1, então os dois fatores são potências de p. Em particular são divisíveis por p.
Se [tex3]p | x+y [/tex3] e [tex3]p | x^2+y^2-xy [/tex3] , então [tex3]p |(x+y)^2 - x^2+y^2-xy = 3xy [/tex3]
Então [tex3]p|x [/tex3] ou [tex3]p|y [/tex3] . Mas como [tex3]p | x+y [/tex3] , então p divide x e também y.
x e y são múltiplos de p, sendo assim: [tex3]x^3+y^3 \geq 2p^3 > p^3[/tex3]
Então obviamente [tex3]n > 3[/tex3]
Mas perceba que:
[tex3]p^{n-3} = \left(\frac{x}{p}\right)^3+\left(\frac{y}{p}\right)^3 [/tex3]
Lembrando que x e y são divisíveis por p, então para toda solução [tex3](x,y,n,p) [/tex3] , sempre haverá uma solução menor [tex3](\frac{x}{p},\frac{y}{p},n-3,p) [/tex3] .
Então definindo n como menor valor possível, é possível achar um valor menor ainda. Absurdo.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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