Olimpíadas(AIME) Equações polinomiais Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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(AIME) Equações polinomiais

Mensagem não lida por Babi123 »

Código: Selecionar todos

Sejam [tex3]a,b,c[/tex3] raízes de [tex3]x^3+3x^2+4x-11=0[/tex3] e [tex3]a+b,
\ b+c, \ c+a [/tex3] as raízes de [tex3]x^3+rx^2+sx+t=0[/tex3] . Determine [tex3]t[/tex3] .
Resposta

t=23
EDIT: COLOCAR SPOILER

Última edição: Babi123 (Sex 06 Jul, 2018 09:11). Total de 2 vezes.



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undefinied3
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Re: (AIME) Equações polinomiais

Mensagem não lida por undefinied3 »

De Girard, temos que [tex3]-t=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c-c)(a+b+c-a)(a+b+c-b)[/tex3]
Sabemos que a primeira equação pode ser fatorada em [tex3](x-a)(x-b)(x-c)[/tex3] . Também sabemos que [tex3]a+b+c=-3[/tex3] . Observe que se fizermos [tex3]f(-3)=f(a+b+c)[/tex3] , estaremos calculando [tex3](a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)[/tex3] , que é o que queremos, então basta calcular [tex3]f(-3)=(-3)^3+3(-3)^2+4(-3)-11=-23[/tex3] , de modo que [tex3]-t=-23 \rightarrow t=23[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Sex 06 Jul, 2018 10:05). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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