Determine todos os inteiros positivos [tex3]m,\
n [/tex3]
tais que:
[tex3]m^2+161=3^n[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Equação Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Jul 2018
05
13:58
Re: Equação
Observe
Solução
Suponha que n = 2k seja par. Então,
[tex3]m^{2}+161=3^n ⇔ 161=3^{2k}-m^2 ⇔ 161=(3^k-m).(3^k+m)[/tex3]
Utilizando o fato que 161 = 7.23 e que [tex3]3^k-m<3^k+m[/tex3] , temos somente dois casos:
[tex3]\begin{cases}
3^k-m=1→3^k=1+m (I)\\
3^k+m=161(II)
\end{cases}e \ \begin{cases}
3^k-m=7 \\
3^k+m=23
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o primeiro sistema( substituindo (I) em ( II ) ), vem;
m + 1 + m = 161
2m = 160
m = 80
Substituindo m = 80 em ( I ) , fica;
[tex3]3^k-80=1→3^k=3^4→k=4[/tex3] , ou seja , ( m , n ) = ( 80 , 8 ).
Segue o mesmo processo de resolução para o segundo sistema, ao resolver você encontrará m = 8 e [tex3]3^k=15[/tex3] ( não possui soluções inteiras ).
Resta sabermos se a solução encontrada acima é a única. Para provarmos isso, vamos utilizar congruência para mostrar que n é obrigatoriamente par. Usando módulo 7( pois, é um dos divisores de 161, e com isso "simplificaremos" a equação dada, ou seja , tentaremos "apagar" o 161).
[tex3]m^2+161=3^n→m^2+161≡ 3^n( mod \ 7) ⇔ m^2≡3^n(mod \ 7)[/tex3]
Em outras palavras, agora temos que comparar os possíveis restos de m² e [tex3]3^n[/tex3] na divisão por 7. As potências de 3 são periódicas módulo 7 com período 6:
[tex3]\overline{1}=\overline{3}^0=\overline
{3}^6=\overline{3}^{12}=...[/tex3]
[tex3]\overline{3}=\overline{3}^1=\overline
{3}^7=\overline{3}^{13}=...[/tex3]
[tex3]\overline{2}=\overline{3}^2=\overline
{3}^8=\overline{3}^{14}=...[/tex3]
[tex3]\overline{6}=\overline{3}^3=\overline
{3}^9=\overline{3}^{15}=...[/tex3]
[tex3]\overline{4}=\overline{3}^4=\overline
{3}^{10}=\overline{3}^{16}=...[/tex3]
[tex3]\overline{5}=\overline{3}^5=\overline
{3}^{11}=\overline{3}^{17}=...[/tex3]
Perceba que há poucas possibilidades para os "quadrados perfeitos" m² módulo 7; utilizando o "truque" do complementar e analisando o número finito de casos, temos
[tex3]\overline{m}=\overline{0}→\overline
{m}^2=\overline{0}[/tex3]
[tex3]\overline{m}=±\overline{1}→\overline
{m}^2=\overline{1}[/tex3]
[tex3]\overline{m}=±\overline{2}→\overline
{m}^2=\overline{4}[/tex3]
[tex3]\overline{m}=±\overline{3}→\overline
{m}^2=\overline{9}=\overline{2}[/tex3]
Assim, para que [tex3]\overline{m}^2=\overline{3}^n[/tex3] , devemos ter n = 6k( quando [tex3]\overline{m}^2=\overline{1}[/tex3] ), n = 6k + 4( quando [tex3]\overline{m}^2=\overline{4})[/tex3] ou n = 6k + 2( quando [tex3]\overline{m}^2=\overline{2}[/tex3] ). Em todos os casos, n é par. Portanto, a solução que encontramos acima( m = 80 e n = 8 ) é a única do problema.
Obs. Se fosse uma questão objetiva, não precisaria de tantos cálculos, bastava substituir os valores das alternativas na equação
Bons estudos!
Solução
Suponha que n = 2k seja par. Então,
[tex3]m^{2}+161=3^n ⇔ 161=3^{2k}-m^2 ⇔ 161=(3^k-m).(3^k+m)[/tex3]
Utilizando o fato que 161 = 7.23 e que [tex3]3^k-m<3^k+m[/tex3] , temos somente dois casos:
[tex3]\begin{cases}
3^k-m=1→3^k=1+m (I)\\
3^k+m=161(II)
\end{cases}e \ \begin{cases}
3^k-m=7 \\
3^k+m=23
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o primeiro sistema( substituindo (I) em ( II ) ), vem;
m + 1 + m = 161
2m = 160
m = 80
Substituindo m = 80 em ( I ) , fica;
[tex3]3^k-80=1→3^k=3^4→k=4[/tex3] , ou seja , ( m , n ) = ( 80 , 8 ).
Segue o mesmo processo de resolução para o segundo sistema, ao resolver você encontrará m = 8 e [tex3]3^k=15[/tex3] ( não possui soluções inteiras ).
Resta sabermos se a solução encontrada acima é a única. Para provarmos isso, vamos utilizar congruência para mostrar que n é obrigatoriamente par. Usando módulo 7( pois, é um dos divisores de 161, e com isso "simplificaremos" a equação dada, ou seja , tentaremos "apagar" o 161).
[tex3]m^2+161=3^n→m^2+161≡ 3^n( mod \ 7) ⇔ m^2≡3^n(mod \ 7)[/tex3]
Em outras palavras, agora temos que comparar os possíveis restos de m² e [tex3]3^n[/tex3] na divisão por 7. As potências de 3 são periódicas módulo 7 com período 6:
[tex3]\overline{1}=\overline{3}^0=\overline
{3}^6=\overline{3}^{12}=...[/tex3]
[tex3]\overline{3}=\overline{3}^1=\overline
{3}^7=\overline{3}^{13}=...[/tex3]
[tex3]\overline{2}=\overline{3}^2=\overline
{3}^8=\overline{3}^{14}=...[/tex3]
[tex3]\overline{6}=\overline{3}^3=\overline
{3}^9=\overline{3}^{15}=...[/tex3]
[tex3]\overline{4}=\overline{3}^4=\overline
{3}^{10}=\overline{3}^{16}=...[/tex3]
[tex3]\overline{5}=\overline{3}^5=\overline
{3}^{11}=\overline{3}^{17}=...[/tex3]
Perceba que há poucas possibilidades para os "quadrados perfeitos" m² módulo 7; utilizando o "truque" do complementar e analisando o número finito de casos, temos
[tex3]\overline{m}=\overline{0}→\overline
{m}^2=\overline{0}[/tex3]
[tex3]\overline{m}=±\overline{1}→\overline
{m}^2=\overline{1}[/tex3]
[tex3]\overline{m}=±\overline{2}→\overline
{m}^2=\overline{4}[/tex3]
[tex3]\overline{m}=±\overline{3}→\overline
{m}^2=\overline{9}=\overline{2}[/tex3]
Assim, para que [tex3]\overline{m}^2=\overline{3}^n[/tex3] , devemos ter n = 6k( quando [tex3]\overline{m}^2=\overline{1}[/tex3] ), n = 6k + 4( quando [tex3]\overline{m}^2=\overline{4})[/tex3] ou n = 6k + 2( quando [tex3]\overline{m}^2=\overline{2}[/tex3] ). Em todos os casos, n é par. Portanto, a solução que encontramos acima( m = 80 e n = 8 ) é a única do problema.
Obs. Se fosse uma questão objetiva, não precisaria de tantos cálculos, bastava substituir os valores das alternativas na equação
Bons estudos!
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