Olimpíadas ⇒ (Polônia) Equação Diofantina Tópico resolvido

[Hanon]

Determine todas as soluções inteiras da equação:
[tex3]x^2(y-1)+y^2(x-1)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2(y-1)+y^2(x-1)=1[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Fazendo x = t + 1 e y = k + 1 reescreve-se a equação dada como :

( t + 1 )^2.k + ( k + 1 )^2.t = 1

Ou ainda,

t²k + 2tk + k + tk² + 2tk + t = 1 , o que nos dá;

tk( t + k ) + 4tk + ( t + k ) = 1.

Somando quatro ( 4 ) aos dois membros, vem;

tk.( t + k + 4 ) + 1.( t + k + 4 ) = 5, que é equivalente à equação ( tk + 1 ).( t + k + 4 ) = 5.
A equação ( tk + 1 ).( t + k + 4 ) = 5 nos leva a quatro casos, ou melhor , aos seguintes sistemas:

[tex3]\begin{cases}
tk+1=1 \\
t+k+4=5
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk+1=-1 \\
t+k+4=-5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
tk+1=1 \\
t+k+4=5
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk+1=-1 \\
t+k+4=-5
\end{cases}[/tex3]

,

[tex3]\begin{cases}
tk+1=5 \\
t+k+4=1
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk+1=-5 \\
t+k+4=-1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
tk+1=5 \\
t+k+4=1
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk+1=-5 \\
t+k+4=-1
\end{cases}[/tex3]

Os sistemas acima equivalem à

[tex3]\begin{cases}
tk=0 \\
t+k=1
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk=-2 \\
t+k=-9
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
tk=0 \\
t+k=1
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk=-2 \\
t+k=-9
\end{cases}[/tex3]

,

[tex3]\begin{cases}
tk=4 \\
t+k=-3
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk=-6 \\
t+k=-5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
tk=4 \\
t+k=-3
\end{cases}, \ \begin{cases}
tk=-6 \\
t+k=-5
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo os sistemas acima ( ficará como exercício para você ), nota-se que somente o primeiro e o último apresentam soluções inteiras que são : ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( - 6 , 1 ) , ( 1 , - 6 ). Como ( x , y ) = ( t + 1 , k + 1 ) , as soluções inteiras da equação x²( y - 1 ) + y²( x - 1 ) = 1 são dadas pelos pares ordenados ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( - 5 , 2 ) , ( 2 , - 5 ).


Bons estudos!