Ache todos os pares de inteiros [tex3]a,\ b[/tex3]
tais que [tex3]a+b[/tex3]
é uma raiz da equação:
[tex3]x^2+ax+b=0[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
AndreBRasera 
- Mensagens: 88
- Registrado em: Qui 26 Out, 2017 18:10
- Última visita: 02-08-20
Jul 2018
01
20:13
Re: Equação Diofantina
Olá, tudo certo?
Devemos compreender os pares [tex3](a,b)[/tex3] do tipo [tex3](0,-1);(0,-4);(0,-9)...[/tex3] , em que [tex3]a=0[/tex3] e [tex3]b =[/tex3] quadrado perfeito com sinal negativo ?
Devemos compreender os pares [tex3](a,b)[/tex3] do tipo [tex3](0,-1);(0,-4);(0,-9)...[/tex3] , em que [tex3]a=0[/tex3] e [tex3]b =[/tex3] quadrado perfeito com sinal negativo ?
Ago 2018
03
15:15
Re: Equação Diofantina
Pelo enunciado do problema temos que:
[tex3](a+b)^2+a(a+b)+b=0[/tex3]
[tex3](a+b)(2a+b)+b=0[/tex3]
[tex3](a+b)(2a+b)-(2a+b)+2(a+b)=0[/tex3]
[tex3](a+b)(2a+b)+2(a+b)=2a+b[/tex3]
[tex3](i)(a+b)(2a+b+2)=2a+b[/tex3]
Agora temos dois casos maiores
1° Caso: Assumamos [tex3]2a+b+2= 0[/tex3] ,
Pela equação [tex3](i)[/tex3] podemos concluir que [tex3]2a+ b=0[/tex3] , portanto não exite um par [tex3]a,b\in \mathbb{Z}[/tex3] que satisfaça.
2° Caso: Assumamos [tex3]2a+b+2\neq 0[/tex3] ,
Podemos portanto dividir a equação [tex3](i)[/tex3] por [tex3]2a+b+2[/tex3] e obteremos:
[tex3](ii)a+b=\dfrac{2a+b}{2a+b+2}[/tex3]
Como [tex3]a,b[/tex3] são inteiros, logo
[tex3]2a+b+2\mid 2a+b\Rightarrow 2a+b+2\mid 2a+b-(2a+b+2)\Rightarrow 2a+b+2\mid -2[/tex3]
Podemos deduzir que [tex3]2a+b+2[/tex3] é [tex3]-2,~ -1,~1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] agora restam testes.
Se [tex3]2a+b+2=-2\Rightarrow 2a+b=-4[/tex3] ,
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=2\Rightarrow a=-6 [/tex3] e [tex3]b=8[/tex3] .
Se [tex3]2a+b+2=-1\Rightarrow 2a+b=-3[/tex3]
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=3\Rightarrow a=-6[/tex3] e [tex3]b=9[/tex3]
Se [tex3]2a+b+2=1\Rightarrow 2a+b=-1[/tex3]
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=-1\Rightarrow a=0[/tex3] e [tex3]b=-1[/tex3]
Se [tex3]2a+b+2=2\Rightarrow 2a+b=0[/tex3]
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=0\Rightarrow a=0[/tex3] e [tex3]b=0[/tex3]
Logo os pares [tex3]a,b[/tex3] que satisfazem são [tex3](-6, 8);~(-6,9);~(0,-1);~(0,0)[/tex3] .
[tex3](a+b)^2+a(a+b)+b=0[/tex3]
[tex3](a+b)(2a+b)+b=0[/tex3]
[tex3](a+b)(2a+b)-(2a+b)+2(a+b)=0[/tex3]
[tex3](a+b)(2a+b)+2(a+b)=2a+b[/tex3]
[tex3](i)(a+b)(2a+b+2)=2a+b[/tex3]
Agora temos dois casos maiores
1° Caso: Assumamos [tex3]2a+b+2= 0[/tex3] ,
Pela equação [tex3](i)[/tex3] podemos concluir que [tex3]2a+ b=0[/tex3] , portanto não exite um par [tex3]a,b\in \mathbb{Z}[/tex3] que satisfaça.
2° Caso: Assumamos [tex3]2a+b+2\neq 0[/tex3] ,
Podemos portanto dividir a equação [tex3](i)[/tex3] por [tex3]2a+b+2[/tex3] e obteremos:
[tex3](ii)a+b=\dfrac{2a+b}{2a+b+2}[/tex3]
Como [tex3]a,b[/tex3] são inteiros, logo
[tex3]2a+b+2\mid 2a+b\Rightarrow 2a+b+2\mid 2a+b-(2a+b+2)\Rightarrow 2a+b+2\mid -2[/tex3]
Podemos deduzir que [tex3]2a+b+2[/tex3] é [tex3]-2,~ -1,~1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] agora restam testes.
Se [tex3]2a+b+2=-2\Rightarrow 2a+b=-4[/tex3] ,
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=2\Rightarrow a=-6 [/tex3] e [tex3]b=8[/tex3] .
Se [tex3]2a+b+2=-1\Rightarrow 2a+b=-3[/tex3]
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=3\Rightarrow a=-6[/tex3] e [tex3]b=9[/tex3]
Se [tex3]2a+b+2=1\Rightarrow 2a+b=-1[/tex3]
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=-1\Rightarrow a=0[/tex3] e [tex3]b=-1[/tex3]
Se [tex3]2a+b+2=2\Rightarrow 2a+b=0[/tex3]
Por a equação [tex3](ii)[/tex3] temos que [tex3]a+b=0\Rightarrow a=0[/tex3] e [tex3]b=0[/tex3]
Logo os pares [tex3]a,b[/tex3] que satisfazem são [tex3](-6, 8);~(-6,9);~(0,-1);~(0,0)[/tex3] .
Última edição: joel3668 (Sex 03 Ago, 2018 15:18). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 14 Respostas
- 2306 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 2 Respostas
- 441 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 160 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 101 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 3 Respostas
- 139 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
